シンプソンの公式

関数 f(x) （青） の、二次関数 P(x) （赤）による近似。

シンプソンの公式（シンプソンのこうしき、英: Simpson's rule）とは、数値解析の分野における、数値積分の方法の一つである。定積分

∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}

の近似値を、関数 f(x) を二次関数で近似することによって得る。名前は、トーマス・シンプソンに因んでいる。次数2の閉じたニュートン・コーツの公式である。シンプソン則ともいう。

基本

シンプソンの公式は、f(x) を二次関数 P(x) で近似することによって導かれる。ここで、P(x) は f(x) の a, b, m における値をそれぞれとる[1]。P(x) は、ラグランジュ補間によって、次の多項式（x の二次式）になることが分かる。

P ( x ) = f ( a ) ( x − m ) ( x − b ) ( a − m ) ( a − b ) + f ( m ) ( x − a ) ( x − b ) ( m − a ) ( m − b ) + f ( b ) ( x − a ) ( x − m ) ( b − a ) ( b − m ) . {\displaystyle P(x)=f(a){\frac {(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}}+f(m){\frac {(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}}+f(b){\frac {(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}}.}

この多項式を範囲 [a, b] で積分すると、次のシンプソンの公式が得られる。

∫ a b f ( x ) d x ≈ ∫ a b P ( x ) d x = b − a 6 [ f ( a ) + 4 f ( a + b 2 ) + f ( b ) ] . {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \int _{a}^{b}P(x)\,dx={\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right].}

シンプソンの公式による、積分の近似の誤差は、a と b の間にある ξ によって、次式で見積もれる（h の5次式）。

− h 5 90 f ( 4 ) ( ξ ) {\displaystyle -{\frac {h^{5}}{90}}f^{(4)}(\xi )}

ただし、h = (b − a)/2。さらに f(x) が2回微分可能で f'' が凸関数であるとき、定積分は次の下限と上限とで抑えられる。

( b − a ) f ( a + b 2 ) + 1 3 h 3 f ″ ( a + b 2 ) ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ b − a 6 [ f ( a ) + 4 f ( a + b 2 ) + f ( b ) ] . {\displaystyle (b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+{\frac {1}{3}}h^{3}f''\left({\frac {a+b}{2}}\right)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq {\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right].}

合成シンプソン公式

シンプソンの公式は、積分範囲 [a, b] が十分小さい場合であれば適当な近似であることが分かる。したがって、積分範囲が大きい場合は、積分範囲を小さな部分区間に分割し、各部分区間についてシンプソンの公式を適用し、その結果を足し合わせるという方法が考えられる。この方法は、合成シンプソン公式（composite Simpson's rule）として知られている。

∫ a b f ( x ) d x ≈ h 3 [ f ( x 0 ) + 2 ∑ j = 1 n / 2 − 1 f ( x 2 j ) + 4 ∑ j = 1 n / 2 f ( x 2 j − 1 ) + f ( x n ) ] . {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}{\bigg [}f(x_{0})+2\sum _{j=1}^{n/2-1}f(x_{2j})+4\sum _{j=1}^{n/2}f(x_{2j-1})+f(x_{n}){\bigg ]}.}

ただし、n は [a, b] を等しく偶数個に分割した部分区間の個数、h = b − a/n は各部分区間の長さ、xi = a + ih (i = 0, ..., n)、特に、x0 = a, xn = b。この式は、次のようにも書ける。

∫ a b f ( x ) d x ≈ h 3 [ f ( x 0 ) + 4 f ( x 1 ) + 2 f ( x 2 ) + 4 f ( x 3 ) + ⋯ + 4 f ( x n − 1 ) + f ( x n ) ] . {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}{\bigg [}f(x_{0})+4f(x_{1})+2f(x_{2})+4f(x_{3})+\dotsb +4f(x_{n-1})+f(x_{n}){\bigg ]}.}

合成シンプソン公式に基づく最大誤差は、次式で見積もることができる。

− h 4 180 ( b − a ) f ( 4 ) ( ξ ) . {\displaystyle -{\frac {h^{4}}{180}}(b-a)f^{(4)}(\xi ).}

脚注

  1. ^ m は“中点”、すなわち a + b/2

関連記事

参考文献

  • Burden, Richard L. and Faires, J. Douglas (2000). Numerical Analysis, (7th Ed). Brooks/Cole. ISBN 0534382169 

外部リンク

ウィキメディア・コモンズには、シンプソンの公式に関連するカテゴリがあります。
  • 『シンプソンの公式の証明と例題』 - 高校数学の美しい物語
  • Weisstein, Eric W. "Simpson's Rule". mathworld.wolfram.com (英語).