Ultrafiltro

In teoria degli insiemi un ultrafiltro ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ è un filtro proprio sull'insieme ${\displaystyle A}$ tale che ogni sottoinsieme di ${\displaystyle A}$ o il suo complemento appartiene ad ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, in formule

${\displaystyle \forall X\subseteq A:(X\in {\mathcal {A}})\lor ({\bar {X}}\in {\mathcal {A}})}$

Sia il concetto di filtro che di ultrafiltro furono introdotti da Henri Cartan nel 1937.

Proprietà

Ogni filtro principale è un ultrafiltro, per dimostrare ciò sia ${\displaystyle x}$ un elemento di ${\displaystyle A}$, e ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ il filtro principale generato da ${\displaystyle x}$. Allora, per ogni sottoinsieme ${\displaystyle S}$ di ${\displaystyle A}$, se ${\displaystyle x\in S}$, allora ${\displaystyle S\in {\mathcal {A}}}$. Se invece ${\displaystyle x\not \in S}$, per la definizione di insieme complemento, ${\displaystyle x\in {\bar {S}}}$ e quindi ${\displaystyle {\bar {S}}\in {\mathcal {A}}}$.

In base a ciò, e senza perdita di generalità, l'ultrafiltro può anche intendersi come un filtro massimale su un'algebra di Boole.

Il filtro cofinito, cioè l'insieme ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ dei sottoinsiemi cofiniti di ${\displaystyle A}$, non è un ultrafiltro. Infatti sia ${\displaystyle S}$ un sottoinsieme cofinito, ossia che contiene tutti gli elementi di ${\displaystyle A}$ tranne un numero finito. Se ${\displaystyle A}$ è finito, ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ non è un filtro proprio: infatti l'insieme ${\displaystyle A\setminus \{x\}}$ ottenuto togliendo un elemento all'insieme di partenza è cofinito, e dunque sta in ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$, ma contiene ${\displaystyle \varnothing }$ e dunque non è un filtro proprio. Se invece ${\displaystyle A}$ è infinito, ${\displaystyle \exists X\subset A}$ tale che sia ${\displaystyle X}$ che ${\displaystyle {\bar {X}}}$ sono infiniti, e dunque né l'uno né l'altro sono in ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$.

Ultrafiltro limite

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Ultrafiltro libero

Un ultrafiltro ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ su di un insieme ${\displaystyle A}$ si definisce libero quando contiene il filtro cofinito ${\displaystyle F_{A}}$.

Si può dimostrare che è impossibile definire un procedimento che consenta di costruire un ultrafiltro libero.

Bibliografia

• Paolo Lipparini, Limit ultrapowers and abstract logics, in The Journal of Symbolic Logic, vol. 52, n. 2, giugno 1987, pp. 437-454.

Voci correlate

• Teoria degli insiemi
• Numero iperreale

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