Spazio misurabile

In matematica, uno spazio misurabile è una struttura astratta alla base di molte idee e nozioni dell'analisi, in particolare in teoria della misura, come quelle di funzione misurabile, insieme misurabile, misura, integrale, sistema dinamico.^[1] Gli spazi misurabili sono oggetto della Matematica sin dal XIX secolo, quando si iniziò uno studio sistematico degli oggetti matematici connessi con l'idea di integrale. Tuttavia, è solo all'inizio del XX secolo che la attuale teoria della misura, e conseguentemente la nozione astratta di spazio misurabile, prende corpo.^[2]

Oltre ad un interesse in sé, gli spazi misurabili sono interessanti in quanto è possibile costruire strutture più complesse a partire da essi. Ciò accade ad esempio per le importanti strutture di spazio di misura, spazio di probabilità e sistema dinamico. Inoltre, sono basate sul concetto di spazio misurabile le nozioni di insieme misurabile e funzione misurabile.

Definizione

Uno spazio misurabile è una coppia $(\Omega ,{\mathfrak {F}})$ costituita da un insieme non vuoto $\Omega$ ed una σ-algebra ${\mathfrak {F}}$ su $\Omega$ . Gli elementi di ${\mathfrak {F}}$ sono detti insiemi misurabili di $\Omega$ .^[3] In pratica la σ-algebra ${\mathfrak {F}}$ permette di associare a dei sottoinsiemi di $\Omega$ (non necessariamente tutti) una misura (lunghezza, volume, probabilità, ecc.) e lo spazio misurabile è l'insieme di tali sottospazi di misura assegnata.

La scelta di una misura da associare a tali sottospazi produce uno spazio di misura.

Gli spazi misurabili formano una categoria, i cui morfismi sono le funzioni misurabili.

L'insieme $\Omega$ è chiamato a volte spazio campionario, soprattutto nelle applicazioni inerenti alla statistica e la probabilità.

Costruzione di spazi misurabili

Spazi boreliani

Lo stesso argomento in dettaglio: Algebra di Borel.

Data una famiglia ${\mathfrak {G}}$ di sottoinsiemi di $\Omega$ , risulta ben definita la σ-algebra $\sigma ({\mathfrak {G}})$ generata da ${\mathfrak {G}}$ . Dato uno spazio topologico $(\Omega ,{\mathcal {\mathrm {T} }})$ è possibile costruire uno spazio misurabile $(\Omega ,{\mathfrak {F}})$ , semplicemente ponendo ${\mathfrak {F}}=\sigma ({\mathcal {\mathrm {T} }})$ , la σ-algebra generata da ${\mathcal {\mathrm {T} }}$ . Gli spazi misurabili di questo tipo, quelli cioè generati da una topologia, prendono il nome di spazi boreliani.^[4]

Una semplice osservazione che chiarisce la connessione tra la struttura topologica e quella di misurabilità di tali spazi è la seguente:^[5] siano $(\Omega ,{\mathcal {\mathrm {T} }}),\,(\Psi ,\Upsilon )$ due spazi topologici, e $(\Omega ,{\mathfrak {F}}),\,(\Psi ,{\mathfrak {G}})$ i relativi spazi boreliani. Se un'applicazione $f:\Omega \mapsto \Psi$ è continua (rispetto a ${\mathcal {\mathrm {T} }},\,\Upsilon$ ), allora essa è misurabile (rispetto a ${\mathfrak {F}},\,{\mathfrak {G}}$ ).

Spazi con misurabilità indotta da funzioni

Siano $(\Psi ,{\mathfrak {G}})$ uno spazio misurabile, $\Omega$ un insieme non vuoto, ed $f:\Omega \mapsto \Psi$ un'applicazione arbitraria da $\Omega$ a $\Psi$ . Si può definire su $\Omega$ una struttura di spazio misurabile, costruendo la σ-algebra ${\mathfrak {F}}$ come la più piccola σ-algebra rispetto a cui $f$ sia misurabile.^[6] La struttura di spazio $(\Omega ,{\mathfrak {F}})$ si dice indotta da $f$ su $\Omega$ . Un'importante caratterizzazione di ${\mathfrak {F}}$ è la seguente:

{\mathfrak {F}}=\left\{E\subset \Omega \ :\ \exists F\in {\mathfrak {G}},E=f^{-1}(F)\right\}

In pratica, ${\mathfrak {F}}$ è la σ-algebra i cui elementi sono le controimmagini (rispetto ad $f$ ) di elementi di ${\mathfrak {G}}$ .

Più in generale, se ${\mathcal {I}}$ è una famiglia (finita o non finita) di funzioni da $\Omega$ a $\Psi$ , si può definire su $\Omega$ la σ-algebra ${\mathfrak {F}}$ come la più piccola σ-algebra che rende tutte le funzioni in ${\mathcal {I}}$ misurabili.

Spazi prodotto

Se $(\Omega _{1},{\mathfrak {F}}_{1})$ e $(\Omega _{2},{\mathfrak {F}}_{2})$ sono due spazi misurabili, si può definire una struttura di spazio misurabile sul prodotto cartesiano $\Omega :=\Omega _{1}\times \Omega _{2}$ , equipaggiando $\Omega$ con una opportuna σ-algebra ${\mathfrak {F}}$ , di cui sono di seguito date due caratterizzazioni.

Siano $\pi _{1},\pi _{2}$ le proiezioni canoniche $\pi _{i}:\Omega \mapsto \Omega _{i}$ (ossia, ad esempio $\pi _{1}((\omega _{1},\omega _{2}))=\omega _{1}$ ). Allora si può definire ${\mathfrak {F}}$ come la più piccola σ-algebra rispetto a cui entrambe $\pi _{1},\pi _{2}$ siano misurabili. Si noti l'analogia tra questa definizione e quella di topologia prodotto.
Si consideri la famiglia di sottoinsiemi di $\Omega$ costituita dai sottoinsiemi che sono il prodotto cartesiano di un elemento di ${\mathfrak {F}}_{1}$ per un elemento di ${\mathfrak {F}}_{2}$ , ossia si pone ${\mathfrak {G}}:=E\times F$ con $E\in {\mathfrak {F}}_{1}$ e $F\in {\mathfrak {F}}_{2}$ .

In generale,

{\mathfrak {G}}

non sarà una σ-algebra (né un'algebra). Infatti l'unione di due insiemi di

{\mathfrak {G}}

non sarà necessariamente un insieme di

{\mathfrak {G}}

, e dunque tale famiglia non è stabile per unioni (si noti tuttavia che essa è stabile per intersezione, è cioè un π-sistema). Si può allora porre

{\mathfrak {F}}:=\sigma ({\mathfrak {G}})

(che, per definizione, è una σ-algebra.^[7]).

Non è difficile verificare che le due caratterizzazioni date coincidono; lo spazio misurabile $(\Omega ,{\mathfrak {F}})$ così costruito prende il nome di spazio misurabile prodotto.

Più in generale, si può effettuare la costruzione sul prodotto cartesiano di una famiglia qualunque di spazi misurabili. Sia $\{\Omega _{\alpha },{\mathfrak {F}}_{\alpha }\}_{\alpha \in {\mathcal {A}}}$ una qualsiasi famiglia (finita o infinita) di spazi misurabili, e sia:

\Omega =\prod _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Omega _{\alpha }

La prima caratterizzazione si estende facilmente a questo caso: sarà sufficiente definire ${\mathfrak {F}}$ come la più piccola σ-algebra rispetto a cui tutte le proiezioni canoniche $\pi _{\alpha }$ siano continue. La seconda caratterizzazione è leggermente più complessa. Si dovrà infatti porre ${\mathcal {F}}=\sigma ({\mathfrak {G}})$ , dove ${\mathfrak {G}}$ è ora definito come:

{\mathfrak {G}}:=\left\{E\subset \Omega \ :\ E=\prod _{\alpha \in {\mathcal {A}}}E_{\alpha }\,;\ E_{\alpha }\subset \Omega _{\alpha }\,;\ E_{\alpha }\neq \Omega _{\alpha }\,{\mbox{solo per un numero finito di}}\,\alpha \right\}

Si noti che nel caso in cui $\Omega _{1},\Omega _{2}$ siano due spazi boreliani, si possono costruire due diverse σ-algebre sullo spazio prodotto $\Omega =\Omega _{1}\times \Omega _{2}$ . Una è quella appena descritta, mentre l'altra è la σ-algebra boreliana generata dalla topologia prodotto. Risulta che questa seconda σ-algebra contiene sempre la prima, e che esse coincidono nel caso in cui le topologie di $\Omega _{1}$ , $\Omega _{2}$ soddisfino il primo assioma di numerabilità. Pertanto, in questo caso, potremo affermare che lo spazio prodotto di due spazi boreliani è boreliano.

La nozione di spazio prodotto è molto importante per la teoria della misura, dal momento che offre delle caratterizzazioni per gli integrali multipli, e nella teoria della probabilità, in quanto consente di costruire esplicitamente variabili casuali indipendenti.

Esempi

Qualsiasi insieme non vuoto munito della σ-algebra minimale ${\mathfrak {F}}_{0}:=\{\emptyset ,\Omega \}$ o della σ-algebra del suo insieme delle parti ${\mathfrak {F}}_{\mathcal {P}}:=\mathbf {2} ^{\Omega }$ è uno spazio misurabile.
In alcuni casi, vi sono più σ-algebre interessanti, e quindi più spazi misurabili, definibili su di uno stesso insieme $\Omega$ . Questo è ad esempio il caso della retta reale $\mathbb {R}$ (o più in generale di $\mathbb {R} ^{n}$ ), in cui sono spesso considerate le σ-algebre di Borel (vedi sopra) e di Lebesgue. La prima è in genere utilizzata quando si studiano funzioni misurabili, ad esempio il precedente lemma di misurabilità delle funzioni continue risulta utile in questo contesto. La seconda è una σ-algebra molto più ampia di questa, ed è interessante nelle questioni riguardanti le misure e gli insiemi misurabili (infatti, è il completamento della σ-algebra di Borel rispetto alla misura di Lebesgue); tuttavia tale σ-algebra risulta piuttosto scomoda per definire le funzioni misurabili: risulta infatti che neanche le funzioni continue da $\mathbb {R}$ in $\mathbb {R}$ sono misurabili rispetto alla σ-algebra di Lebesgue.

Note

^ Per un'introduzione alle idee della teoria della misura ed alle loro applicazioni si veda Billingsley Probability and measure. Una presentazione generale, ma più astratta, è data anche in Cohn, Measure Theory. Un testo introduttivo classico è Halmos Measure Theory.
^ Un breve resoconto dello sviluppo storico della teoria della misura e dell'integrazione si trova in Boyer History of Mathematics, cap. 28.
^ W. Rudin, Pag. 8.
^ Si faccia attenzione a non confondere gli spazi boreliani con gli spazi boreliani standard. Questi ultimi sono degli spazi boreliani nel senso discusso sotto, ma con l'ipotesi aggiuntiva che Ω abbia una struttura di spazio polacco. Gli spazi boreliani standard hanno un notevole interesse, ma sono trattati in questa voce solo in quanto spazi boreliani generali.
^ Per una dimostrazione breve ed elementare di questo risultato si veda Halmos Measure Theory, pag. 102-107.
^ Si noti che il concetto di più piccola σ-algebra è ben definito, dal momento che se una funzione è misurabile rispetto a tutti gli elementi di una famiglia di σ-algebre, essa è misurabile anche rispetto alla loro intersezione (che è ancora una σ-algebra).
^ Data una famiglia di sottoinsiemi di Ω risulta ben definita la σ-algebra da essa generata. .

Bibliografia

(EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
(EN) Patrick Billingsley, Probability and measure, 3rd edition, New York, John Wiley & Sons, 1995, ISBN 0-471-00710-2, ..
(EN) Carl B. Boyer, History of Mathematics, 2nd edition, New York, John Wiley & Sons, 1989, ISBN 0-471-54397-7.
(EN) Donald L. Cohn, Measure Theory, Boston, Birkhäuser, 1980, ISBN 0-8493-7157-0.
(EN) Paul R. Halmos, Measure Theory, New York, Springer-Verlag, 1974, ISBN 0-387-90088-8.
(EN) Eric M. Verstrup, The Theory of Measures and Integration, Hoboken, John Wiley & Sons, 2003, ISBN 0-471-24977-7.
(EN) Antoni Zygmund, Richard L. Wheeden, Measure and Integral. An Introduction to Real Analysis, New York - Basel, Marcel Dekker, Inc., 1977, ISBN 0-8247-6499-4.

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Spazio misurabile, su MathWorld, Wolfram Research.
(EN) Spazio misurabile, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.