Potenziale scalare magnetico

Il potenziale scalare magnetico è una grandezza fisica che caratterizza i campi magnetici conservativi, ovvero che siano invarianti nel tempo (campo magnetostatico) e che nella regione di spazio considerata non siano presenti e sia lontana da cariche libere in moto. Queste condizioni consentono di definire un potenziale scalare magnetico ${\displaystyle V_{m}}$ in modo analogo alla definizione del potenziale elettrico rispetto al campo elettrico.

Quando il campo magnetico è conservativo allora le proprietà dei circuiti elettrici sono totalmente sovrapponibili a quelle dei circuiti magnetici e per quali è possibile definire la tensione magnetica come differenza di potenziale scalare magnetico.

Nell'elettromagnetismo classico i fenomeni fisici che generano campi magnetici sono tra loro in relazione attraverso la legge di Ampère-Maxwell:^[1]

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{f}+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$

Se il campo magnetico ${\displaystyle \mathbf {H} }$ è invariante nel tempo (campo magnetostatico) allora ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{f}}$ di conseguenza definita una regione limitata di spazio lontana da cariche libere in moto e in cui la densità di corrente delle cariche libere (correnti non legate ai fenomeni di polarizzazione elettrica e magnetica) è nulla ${\displaystyle \mathbf {J} _{f}=0}$ si ha che ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =0}$. Siccome il campo magnetico così definito è irrotazionale, ovvero ha rotore nullo, e la regione di spazio considerata è semplicemente connessa allora il campo magnetico ${\displaystyle \mathbf {H} }$ è un campo vettoriale conservativo ed è possibile associargli un potenziale scalare. Il potenziale scalare magnetico ${\displaystyle V_{m}}$ allora è per definizione legato al campo magnetico dalla relazione:^[2][3]

${\displaystyle \mathbf {H} =-\nabla V_{m}}$

Nel sistema internazionale di unità di misura il potenziale scalare magnetico è misurato in ampere, simbolo ${\displaystyle \mathrm {A} }$, mentre storicamente era misurato in amperspira, simbolo ${\displaystyle \mathrm {As} }$ o ${\displaystyle \mathrm {Asp} }$, ovvero il prodotto tra l'intensità di corrente e le spire attraversate.^[4]

Considerato un circuito elettrico filiforme chiuso di percorso ${\displaystyle \gamma }$ posto in una regione di spazio lontana da cariche libere in moto in cui scorre una corrente elettrica continua di intensità ${\displaystyle I}$ allora il campo magnetostatico ${\displaystyle \mathbf {B} }$ generato dal circuito è conservativo e legato al potenziale scalare magnetico dall'equazione differenziale:^[5]

${\displaystyle \mathbf {B} =-\mu _{0}\nabla V_{m}}$

Definito un vettore posizione ${\displaystyle \mathbf {r} }$ di modulo ${\displaystyle \mathrm {r} }$ che indica la posizione del campo magnetico ${\displaystyle \mathbf {B} }$ da calcolare rispetto a un sistema di riferimento cartesiano, un vettore spostamento elementare ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {s} }$, una corrente elettrica lungo il filo di intensità ${\displaystyle I}$ allora per la legge di Biot-Savart il campo magnetico generato dal circuito chiuso ${\displaystyle \gamma }$ è:^[6][5]

${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\oint _{\gamma }{\frac {I\,\mathrm {d} \mathbf {s} \times \mathbf {r} }{\mathrm {r} ^{3}}}}$

Considerata la definizione di gradiente ${\displaystyle \mathrm {d} V_{m}=\nabla V_{m}\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} }$ allora sostituendo nella legge trovata precedentemente si ha che:^[5]

${\displaystyle \mathrm {d} V_{m}=-{\frac {I}{4\pi }}\oint _{\gamma }{\frac {\mathrm {d} \mathbf {s} \times \mathbf {r} }{\mathrm {r} ^{3}}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} }$

Considerato l'angolo solido ${\displaystyle \Omega }$ sotteso dal circuito allora:^[7]

${\displaystyle V_{m}=-{\frac {I}{4\pi }}\Omega }$

Considerato un corpo magnetizzato a cui è associato un vettore di polarizzazione magnetica ${\displaystyle \mathbf {M} }$ e un campo magnetico di induzione ${\displaystyle \mathbf {B} }$ allora il campo magnetico complessivo ${\displaystyle \mathbf {H} }$ è:^[2]

${\displaystyle \mathbf {H} ={\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}-\mathbf {M} }$

Siccome per la legge di Gauss magnetica ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$ allora la divergenza del campo magnetico di un corpo magnetizzato è ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {H} =-\nabla \cdot \mathbf {M} }$. Se il campo è magnetostatico allora ${\displaystyle \mathbf {H} =-\nabla V_{m}}$ quindi sostituendo nella relazione precedente si trova che ${\displaystyle \nabla ^{2}V_{m}=\nabla \cdot \mathbf {M} }$. Definito il vettore posizione ${\displaystyle \mathbf {r} }$ e il volume del corpo magnetizzato ${\displaystyle \tau }$ allora tramite la funzione di Green del laplaciano in tre dimensioni è possibile ottenere che:^[8]

${\displaystyle V_{m}=-{\frac {1}{4\pi }}\int _{\tau }{\frac {\mathbf {M} \cdot \mathbf {r} }{\mathrm {r} ^{3}}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} ^{3}}$

• Corrado Mencuccini e Vittorio Silvestrini, Fisica II, Napoli, Liguori Editore, 2010, ISBN 978-88-207-1633-2.
• Jack Vanderlinde, Classical Electromagnetic Theory (PDF), 2ª ed., Dordrecht, Kluwer Academic Publishers, 2005, DOI:10.1007/1-4020-2700-1, ISBN 1-4020-2699-4.

• Potenziale vettore magnetico
• Campo magnetico

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