Notazione multi-indice

La notazione multi-indice è una notazione matematica che permette la notevole semplificazione di molte formule, mediante la generalizzazione del concetto di indice a quello di ennupla ordinata di indici. Trova applicazione, ad esempio, nel calcolo in più variabili, nelle equazioni differenziali alle derivate parziali e nella teoria delle distribuzioni.

Un multi-indice n-dimensionale è una ennupla di numeri naturali, cioè numeri interi, maggiori o uguali a zero, ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n}}$ .

Si definiscono le seguenti regole, per ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} ^{n},\mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$:

${\displaystyle \alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})}$

${\displaystyle \alpha \leq \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad \forall \,i}$

${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\ldots +\alpha _{n}}$

${\displaystyle \alpha !=\alpha _{1}!\alpha _{2}!\ldots \alpha _{n}!}$

${\displaystyle {\alpha \choose \beta }={\frac {\alpha !}{(\alpha -\beta )!\,\beta !}}={\alpha _{1} \choose \beta _{1}}{\alpha _{2} \choose \beta _{2}}\ldots {\alpha _{n} \choose \beta _{n}}}$

${\displaystyle \mathbf {x} ^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}}$

${\displaystyle D^{\alpha }=D_{1}^{\alpha _{1}}D_{2}^{\alpha _{2}}\ldots D_{n}^{\alpha _{n}}}$, dove ${\displaystyle D_{i}^{j}:=\partial ^{j}/\partial x_{i}^{j}}$. Al posto della lettera D maiuscola si usa anche la notazione ${\displaystyle \partial ^{\alpha }}$

Questa notazione permette di estendere molte formule del calcolo 1-variato ai casi n-variati. Alcuni esempi delle applicazioni più comuni:

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^{k}=\sum _{|\alpha |=k}^{}{{\frac {k!}{\alpha !}}\,\mathbf {x} ^{\alpha }}}$

Se u, v sono differenziabili, allora

${\displaystyle D^{\alpha }(uv)=\sum _{\nu \leq \alpha }^{}{{\alpha \choose \nu }D^{\nu }u\,D^{\alpha -\nu }v}}$

Se f è analitica, allora

${\displaystyle f(\mathbf {x} +\mathbf {h} )=\sum _{|\alpha |\geq 0}^{}{{\frac {D^{\alpha }f(\mathbf {x} )}{\alpha !}}\mathbf {h} ^{\alpha }}}$

Un operatore differenziale parziale dell'n-esimo ordine si può scrivere come

${\displaystyle P(D)=\sum _{|\alpha |\leq N}{}{a_{\alpha }(x)D^{\alpha }}}$

Se u, v sono differenziabili a supporto compatto in un dominio limitato ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ si ha che

${\displaystyle \int _{\Omega }{}{u(D^{\alpha }v)}\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }^{}{(D^{\alpha }u)v\,dx}}$

Questa formula è usata per le definizioni di distribuzione e di derivata debole.

• Tesi: Se i, k sono multi-indici n-dimensionali e ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$ allora

${\displaystyle \partial ^{i}x^{k}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {k!}{(k-i)!}}x^{k-i}&{\hbox{se}}\,\,i\leq k\\0&{\hbox{altrimenti.}}\end{matrix}}\right.}$

• Dimostrazione: Dalla regola di derivazione ordinaria, vale che, se i,k = 0,1,...

${\displaystyle {\frac {d^{i}}{dx^{i}}}x^{k}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {k!}{(k-i)!}}x^{k-i}&{\hbox{se}}\,\,i\leq k,\\0&{\hbox{altrimenti.}}\end{matrix}}\right.}$.

Se supponiamo ${\displaystyle i=(i_{1},\ldots ,i_{n})}$, ${\displaystyle k=(k_{1},\ldots ,k_{n})}$, allora abbiamo che

${\displaystyle \partial ^{i}x^{k}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {\frac {\partial ^{\vert i\vert }}{\partial x_{1}^{i_{1}}\cdots \partial x_{n}^{i_{n}}}}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}={\frac {\partial ^{i_{1}}}{\partial x_{1}^{i_{1}}}}x_{1}^{k_{1}}\cdots {\frac {\partial ^{i_{n}}}{\partial x_{n}^{i_{n}}}}x_{n}^{k_{n}}}$

in quanto per ogni r=1,..,n la funzione ${\displaystyle x_{r}^{k_{r}}}$ dipende solo dall'r-esima coordinata. Dall'uguaglianza scritta sopra, si evince che ogni differenziazione parziale ${\displaystyle \partial /\partial x_{r}}$ si riduce alla derivazione ordinaria ${\displaystyle d/dx_{r}}$. Ma allora, dalla regola di derivazione scritta all'inizio, ne segue che ${\displaystyle \partial ^{i}x^{k}}$ si annulla se ${\displaystyle i_{r}>k_{r}}$ per qualche r=1,..,n. Se ciò non accade mai, cioè se, per definizione, ${\displaystyle i\leq k}$ nel senso del multi-indice, allora per ogni r=1,..,n viene ${\displaystyle {\frac {d^{i_{r}}}{dx_{r}^{i_{r}}}}x_{r}^{k_{r}}={\frac {k_{r}!}{(k_{r}-i_{r})!}}x_{r}^{k_{r}-i_{r}}}$ e dunque la tesi del teorema. ${\displaystyle \Box }$

• (EN) Multi-index derivative of a power su PlanetMath

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