Invarianza (matematica)

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In matematica un oggetto (funzione, insieme, punto, ...) si dice invariante rispetto o sotto una trasformazione se esso rimane inalterato dopo l'azione di tale trasformazione. Il concetto di invarianza è molto simile a quello di punto fisso.

Altrimenti detto, dato un insieme ${\displaystyle X}$ con una relazione d'equivalenza, un invariante è una funzione ${\displaystyle f:X\to Y}$ che sia costante su ogni singola classe: il suo valore non dipende dal rappresentante scelto. Si dice anche che ${\displaystyle f}$ può scendere al quoziente. Tale definizione generalizza la precedente, cui ci si può riportare ponendo come relazione d'equivalenza "c'è una trasformazione che porta l'elemento ${\displaystyle a}$ nell'elemento ${\displaystyle b}$".

In teoria delle categorie, ogni funtore definisce un invariante, ma non ogni invariante è funtoriale.

In analisi complessa ci sono delle definizioni accessorie: un insieme si dice invariante in avanti sotto la mappa ${\displaystyle f}$ se ${\displaystyle f(X)=X}$, invariante all'indietro se ${\displaystyle f^{-1}(X)=X}$ e completamente invariante se è entrambe le cose.

Esempi

• Il modulo di un numero complesso sotto coniugazione complessa
• Il grado di un polinomio sotto trasformazione lineare delle variabili
• Una funzione pari sotto la trasformazione che porta un numero ${\displaystyle x}$ nel suo opposto ${\displaystyle -x}$
• La misura di Lebesgue di un sottoinsieme reale sotto una traslazione
• La varianza di una variabile aleatoria sotto l'addizione di una costante
• Gli insiemi di Fatou e di Julia di una funzione olomorfa ${\displaystyle f}$ sono completamente invarianti sotto ${\displaystyle f}$

Voci correlate

• Punto fisso
• Simmetria (matematica)
• Invariante topologico
• Sistema dinamico lineare stazionario
• Teoria degli invarianti

Collegamenti esterni

• (EN) invariant, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Invarianza, su MathWorld, Wolfram Research.

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