Arcocotangente

In matematica, e in particolare in trigonometria, l'arcocotangente è la funzione definita come funzione inversa della cotangente di un angolo nell'intervallo ( 0 , π ) {\displaystyle \left(0,\pi \right)} .[1]

Notazione

Le funzioni arcotangente e arcocotangente a raffronto

La notazione matematica dell'arcocotangente è arccot {\displaystyle \operatorname {arccot} } o a r c c o t g {\displaystyle \mathrm {arccotg} } ; è comune anche la scrittura piuttosto ambigua cot − 1 {\displaystyle \cot ^{-1}} .

Proprietà

L'arcocotangente è una funzione continua e strettamente decrescente, definita per tutti i numeri reali:

arccot : R → ( 0 , π ) . {\displaystyle \operatorname {arccot} \colon \mathbb {R} \to \left(0,\pi \right).}

Esistono inoltre i limiti

lim x → + ∞ arccot ⁡ x = 0 , {\displaystyle \lim _{x\rightarrow +\infty }\operatorname {arccot} x=0,}

e

lim x → − ∞ arccot ⁡ x = π . {\displaystyle \lim _{x\rightarrow -\infty }\operatorname {arccot} x=\pi .}

Il suo grafico è simmetrico rispetto al punto ( 0 , π 2 ) {\displaystyle \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right)} , essendo arccot ⁡ x = π − arccot ⁡ ( − x ) {\displaystyle \operatorname {arccot} x=\pi -\operatorname {arccot} \left(-x\right)} .

La derivata della funzione arcocotangente è:[1]

d d x arccot ⁡ x = − 1 1 + x 2 = d d x arctan ⁡ 1 x . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arccot} x=-{\frac {1}{1+x^{2}}}={\frac {d}{dx}}\arctan {\frac {1}{x}}.} [1]

La serie di Taylor corrispondente è:

arccot ⁡ x = π 2 − ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k x 2 k + 1 2 k + 1 = π 2 − x + x 3 3 − x 5 5 + x 7 7 − ⋯ . {\displaystyle \operatorname {arccot} x={\frac {\pi }{2}}-\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}={\frac {\pi }{2}}-x+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}-\cdots .}

Per via della già descritta simmetria vale la relazione per argomenti negativi:

arccot ⁡ ( − x ) = π − arccot ⁡ x . {\displaystyle \operatorname {arccot} \left(-x\right)=\pi -\operatorname {arccot} x.}

Applicazioni

In un triangolo rettangolo l'ampiezza in radianti di un angolo acuto equivale all'arcocotangente del rapporto fra il suo cateto adiacente e il cateto opposto.[2]

Note

  1. ^ a b c Baroncini Paolo, Manfredi Roberto, Fragni Ilaria, Lineamenti.Math Blu Volume 5, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4. p. 295
  2. ^ Baroncini Paolo, Manfredi Roberto, Nella Dodero, Nuovo Corso di Trigonometria, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4. p. 172

Bibliografia

  • Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 5, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4.
  • Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Nella Dodero, Nuovo Corso di Trigonometria, Ghisetti e Corvi, 2010, ISBN 978-88-538-0433-4.

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