Anarmonicità

L'anarmonicità rappresenta la deviazione di un sistema oscillante rispetto al modello dell'oscillatore armonico, ed è calcolabile facendo ricorso alla teoria perturbativa nel caso di basse anarmonicità o ad altre tecniche numeriche se essa è consistente. Nell'oscillatore anarmonico è possibile osservare multipli della frequenza fondamentale dell'oscillatore ${\displaystyle \omega _{A}}$ che differisce dalla ${\displaystyle \omega _{N}}$ del moto armonico in prima approssimazione proporzionalmente al quadrato della ampiezza di oscillazione A:

${\displaystyle \;\Delta \omega _{A}=\omega _{A}-\omega _{N}}$

${\displaystyle \Delta \omega _{A}\propto A^{2}}$.

Perciò risulta il manifestarsi di oscillazioni con le frequenze delle armoniche superiori ${\displaystyle 2\omega _{A}}$ e ${\displaystyle 3\omega _{A}}$ ecc., dove ${\displaystyle \omega _{A}}$ è la frequenza fondamentale dell'oscillatore. Inoltre, la frequenza ${\displaystyle \omega _{A}}$ devia dalla frequenza naturale ${\displaystyle \omega _{N}}$.

In un sistema di oscillatori con modi normali ${\displaystyle \omega _{\alpha }}$, ${\displaystyle \omega _{\beta }}$, ... l'anarmonicità si risolve in oscillazioni addizionali con frequenze ${\displaystyle \omega _{\alpha }\pm \omega _{\beta }}$.

L'anarmonicità modifica anche il profilo della curva di risonanza, portando ad interessanti fenomeni come la risonanza nonlineare e la risonanza superarmonica.

In generale, l'oscillatore armonico è un sistema dinamico altamente idealizzato che oscilla con una singola frequenza, indipendentemente della quantità di energia cedutagli dall'esterno. Conseguentemente, la frequenza fondamentale dell'oscillatore armonico è indipendente dall'ampiezza delle vibrazioni. In un oscillatore anarmonico accade il contrario: la relazione dinamica tra forza e spostamento non è più lineare ma dipende dall'ampiezza dell'oscillazione, e quindi anche la frequenza può dipendervi. Questi cambiamenti risultano in un accoppiamento parametrico dell'energia ad altre frequenze.

Ci sono molti sistemi nel mondo fisico: a livello meccanico la nonlinearità sorge già nel caso più semplice nel pendolo matematico per angoli crescenti, che tende peraltro a esibire comportamenti caotici; come anche in una molla in snervamento o il cui peso non è rigido. In effetti la nonlinearità sopraggiunge quando l'ampiezza oltrepassa valori-soglia.

Esempi fuori dalla meccanica sono semiconduttori non in equilibrio che posseggono una popolazione calda abbastanza grande e che tendono ad esibire oscillazioni anarmoniche legate alla massa effettive delle cariche, così come plasmi ionosferici. Un atomo la sperimenta uno sdoppiamento tra centro di massa del nucleo atomico e la nube elettronica sotto l'applicazione di un campo elettrico: si genera un dipolo elettrico che si comporta come oscillatore, e per intensità di campo crescenti perde la sua linearità come un sistema meccanico. L'anarmonicità gioca anche un ruolo importante nei reticoli cristallini, nelle vibrazioni quantistiche molecolari [1], e in acustica.

Si consideri un potenziale unidimensionale ${\displaystyle U(x)}$ supposto simmetrico rispetto all'asse ${\displaystyle U}$, la forma della curva può essere implicitamente determinata a partire dal periodo ${\displaystyle T(E)}$ delle oscillazioni con energia totale ${\displaystyle E}$ secondo l'equazione:

${\displaystyle x(U)={\frac {1}{2\pi {\sqrt {2m}}}}\int _{0}^{U}{\frac {T(E)\,dE}{\sqrt {U-E}}}}$

• Lev Davidovič Landau, Evgenij Mikhailovič Lifšic, Corso di fisica teorica. Meccanica, Editori Riuniti
• Filipponi Adriano, Cavicchia Demetrio Roberto, Anharmonic dynamics of a mass O-spring oscillator (2011), American Journal of Physics, Volume 79, Issue 7, pp. 730, [2]

• Oscillatore armonico
• Oscillatore parametrico
• Problema di Fermi–Pasta–Ulam–Tsingou
• Risonanza (fisica)

• (EN) Nonlinear Oscillations, Franz-Josef Elmer, Università di Basilea

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