Nato a Milano l'8 novembre 1698 da Carlo Archinto, conte di Tainate, e da sua moglie Giulia Barbiano di Belgioioso, Alberico Archinto era pronipote del cardinale Giuseppe Archinto, arcivescovo di Milano, nonché zio del cardinale Giovanni Archinto.
Ordinato sacerdote il 26 maggio 1736, il 30 settembre 1739 divenne arcivescovo titolare di Nicea per poi ottenere anche il titolo di assistente al Trono Pontificio dal 1º ottobre 1739. Il 1º novembre 1739 venne consacrato arcivescovo a Milano da Ludovico Calini, vescovo di Crema. Nunzio apostolico nel Granducato di Toscana dal 17 novembre 1739 all'aprile del 1746, venne successivamente destinato alla nunziatura apostolica in Polonia ove rimase dal 1º marzo 1746 al 12 marzo 1754, facendo poi ritorno a Roma.
Governatore di Roma e vice-camerlengo di Santa Romana Chiesa dal 14 settembre 1754, rimase in carica sino al 5 aprile 1756 quando venne elevato alla dignità di cardinale presbitero nel concistoro che si tenne in quello stesso giorno da papa Benedetto XIV. Il 24 maggio 1756 ottenne la berretta ed il titolo di San Matteo in Merulana.
Ottenuto il titolo di vice-cancelliere di Santa Romana chiesa, il 20 settembre 1756 optò per il titolo cardinalizio di San Lorenzo in Damaso, proprio di quel ruolo.
Nominato segretario di Stato da papa Benedetto XIV in seguito alla morte di Silvio Valenti Gonzaga, ottenne dal pontefice il rinnovo della licenza giudiziaria di ascoltare le cause criminali il 15 luglio 1758.
Morì a Roma il 30 settembre 1758 alle 10 di mattina. La salma venne esposta alla pubblica venerazione nella chiesa di San Lorenzo in Damaso ove si tennero poi le esequie e dove il cardinale venne sepolto.