Dalam matematika, ada beberapa cara mendefinisikan bilangan real, salah satunya adalah membentuknya menjadi suatu medan terurut lengkap yang tidak mengandung setiap medan terurut lengkap yang lebih kecil. Terdapat suatu definisi yang tidak membuktikan bahwa suatu medan terurut lengkap itu ada, dan keberadaan akan bukti tersebut melibatkan konstruksi struktur matematika yang memenuhi definisi.
Definisi aksiomatik
Bilangan real didefinisikan secara aksiomatik sebagai unsur-unsur medan terurut lengkap. Definisi yang lebih presisinya adalah sebagai berikut: Model bilangan real terdiri dari himpunan
, dua unsur 0 dan 1 dari
, dua operasi biner
(penambahan) dan
(perkalian) di
, dan relasi biner
di
. Model tersebut memenuhi sifat-sifat berikut.
membentuk suatu medan. Dengan kata lain, - Untuk semua
,
, dan
di
, berlaku asosiatif penambahan dan perkalian
dan
. - Untuk semua
dan
di
, berlaku komutatif penambahan dan perkalian
dan
. - Untuk semua
,
, dan
di
, berlaku distributif penambahan dan perkalian
. - Untuk semua
di
, berlaku identitas penambahan
dan identitas perkalian
. - Untuk setiap
di
, terdapat unsur
di
, sehingga
. - Untuk setiap
di
, terdapat unsur
di
, sehingga
.
membentuk suatu himpunan terurut total. Dengan kata lain, - Untuk semua
di
,
. (refleksivitas) - Untuk semua
dan
di
, jika
dan
, maka
. (antisimetri) - Untuk semua
,
, dan
di
, jika
dan
, maka
. (transitif) - Untuk semua
dan
di
,
atau
. (totalitas)
- Operasi
dan
di medan
dikatakan kompatible (compatible) dengan urutan
. Dengan kata lain, - Untuk semua
,
, dan
di
, jika
, maka
. - Untuk semua
,
, dan
di
, jika
dan
, maka
.
- Urutan
dikatakan lengkap dalam artian berikut: setiap subhimpunan tak kosong dari batas atas
mempunyai batas atas terkecil. Dengan kata lain, jika
mempunyai batas atas, maka
setidaknya mempunyai batas atas
, sehingga untuk setiap batas atas
dari
,
.
Aksiomatisasi bilangan real Tarski
Terdapat aksiomatisasi bilangan real dan aritmetikanya lain yang dibuat dan dihimpun oleh Alfred Tarski. Aksiomatisasi ini terdiri dari delapan aksioma terdiri dari empat gagasan primitif.