Unió (halmazelmélet)

Az unió szó további jelentéseihez lásd az Unió (egyértelműsítő lap) című szócikket.

Az unió a halmazelmélet egy művelete, ami két vagy több halmazból úgy képez egy új halmazt, hogy az így létrejövő halmaz az eredeti halmazok összes elemét tartalmazza és más elemet ne tartalmazzon.

Az A és B halmazok uniója

Definíció

Ha A {\displaystyle A} és B {\displaystyle B} halmazok, akkor az A {\displaystyle A} és B {\displaystyle B} egyesítésének (vagy más szóval uniójának) nevezzük és A ∪ B {\displaystyle A\cup B} (szóban: „á unió bé”) módon jelöljük azon elemek összességét, melyek A {\displaystyle A} illetve B {\displaystyle B} közül legalább az egyikben benne vannak. Ezt szimbolikusan így írjuk: A ∪ B = { x ∣ x ∈ A ∨ x ∈ B } {\displaystyle A\cup B=\{x\mid x\in A\vee x\in B\}} .

Megjegyzés: Azt, hogy A ∪ B {\displaystyle A\cup B} halmaz, az úgynevezett egyesítési axióma mondja ki.

Hasonlóan el lehet készíteni egy akárhány halmazból álló { A i | i ∈ I } {\displaystyle \{A_{i}\,|\,i\in I\}} halmazrendszer elemeinek ⋃ i ∈ I A i {\displaystyle \bigcup _{i\in I}A_{i}} unióját:

Legyenek A i {\displaystyle A_{i}} ( i ∈ I ) {\displaystyle (i\in I)} tetszőleges halmazok, ahol I {\displaystyle I} tetszőleges indexhalmaz. Az A i {\displaystyle A_{i}} halmazok egyesítése (vagy más néven uniója) a következő halmaz:

⋃ i ∈ I A i = { x ∣ ∃ i ∈ I : x ∈ A i } {\displaystyle \bigcup _{i\in I}A_{i}=\{x\mid \exists i\in I:x\in A_{i}\}} .

Tulajdonságok

Az halmazok egyesítése idempotens, kommutatív, asszociatív művelet, azaz tetszőleges A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} halmazok esetén:

  • A ∪ A = A {\displaystyle A\cup A=A} ; (idempotencia)
  • A ∪ B = B ∪ A {\displaystyle A\cup B=B\cup A} ; (kommutativitás)
  • A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C {\displaystyle A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C} ; (asszociativitás[1])

illetve az egyesítés disztributív a metszet műveletre, és a metszet művelet disztributív az egyesítésre:

  • A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) {\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)} ; (disztributivitás)
  • A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) {\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)} ; (disztributivitás)

továbbá:

  • A ∪ ∅ = A {\displaystyle A\cup \emptyset =A}

További információk

  • Alice és Bob - 19. rész: Alice és Bob ideáljai

Jegyzetek

  1. ↑ Lásd még az asszociativitás szócikket.

Hivatkozások

  • Szendrei, Ágnes: Diszkrét matematika. Logika, algebra, kombinatorika, Polygon JATE Press, Szeged, 1994