T-próba

A t-próba a statisztikai elemzés egyik típusa, amelyet két csoport átlagainak összehasonlítására és annak megállapítására használnak, hogy az adott minta származhat-e a nullhipotézis populációjából. A tesztben a nullhipotézis esetében a tesztstatisztika a Student-féle t-eloszlást követi. Leggyakrabban akkor alkalmazzák, ha a minta normális eloszlást követ, miközben a skálaparaméter(minta vagy csoportok különbségének, vagy feltételek különbségének az átlaga) ismert (általában a skálaparaméter ismeretlen, ezért zavaró tényező).

Tágabb értelemben a matematikai statisztikában általában is szoktak t-próbaként, vagy t-próbákként utalni minden olyan próbára, melyben a próbastatisztika t-eloszlást követ. Használatos ezekre a próbákra a „Student-féle t-próba” elnevezés is, mivel a t-eloszlást is szokás Student-féle eloszlásnak, vagy Student-féle t-eloszlásnak nevezni. A tágabb értelemben vett t-próbák közé tartoznak a fentieken kívül még a következők:

• Gayen-próba,
• Johnson-próba,
• Levene-próba,
• O'Brien-próba,
• Welch-próba (d-próba),
• Yuen-próba.

Ha az t-próba kifejezéssel találkozunk, és nincs pontosabban meghatározva, hogy melyik t-próbát kell érteni alatta, akkor vélhetően az egymintás t-próbáról van szó.

Történet

A ,,t-statisztika” kifejezés a ,,hypothesis test statistic" (,,hipotézis teszt statisztika”) rövidítése.[1] A statisztikában a t-eloszlást először 1876-ban Helmert[2][3][4] és Lüroth vezette le ,,posterior” eloszlásként.[5][6][7] A t-eloszlás általánosabb formában is megjelent Pearson IV. típusú eloszlásként Karl Pearson 1895-ös publikációjában. [8] A t-eloszlás, más néven Student's t-eloszlás azonban William Sealy Gosset-ről kapta a nevét, aki először 1908-ban publikálta angolul a Biometrika című tudományos folyóiratban "Student"[9][10] álnéven, mivel munkaadója előnyben részesítette, hogy a munkatársak álnevet használjanak a tudományos cikkek publikálásakor.[11] Gosset az írországi Dublinban található Guinness sörgyárban dolgozott, és a kis minták problémái érdekelték - például az árpa kémiai tulajdonságainak vizsgálata kis mintaszámmal. Ezért a Student kifejezés etimológiájának egy másik változata az, hogy a Guinness gyár nem akarta, hogy a versenytársai megtudják, hogy a t-tesztet használják a nyersanyag minőségének meghatározására. Bár William Gosset volt az, aki után a tesztet elnevezték, valójában Ronald Fisher munkája révén vált az eloszlás "Student-eloszlás"[12] és "Student t-próba" néven ismertté.

Gosset-t Claude Guinness (az akkori vezérigazgató) azon elve miatt alkalmazták, amely szerint a legjobb oxfordi és cambridge-i diplomásokat vették fel, hogy biokémiát és statisztikát alkalmazzanak a Guinness ipari folyamataiban.[13] A Guinness irányelve szerint a technikai személyzetnek engedélyezték a tanulmányi szabadságot, amelyet Gosset az 1906-1907-es tanév első két félévében Karl Pearson professzor biometrikus laboratóriumában, a University College Londonban[14] használt ki. Gosset kilétét ekkor már ismerték a statisztikus kollégák és Karl Pearson főszerkesztő is[15].

Használat

A leggyakrabban használt t-tesztek az egymintás és a kétmintás tesztek:

● Az egymintás t-próba azt vizsgálja, hogy a populáció átlaga megegyezik-e a nullhipotézisben megadott értékkel.

● Kétmintás t-próba azt a nullhipotézis vizsgálja, amelynek állítása, hogy a két populáció átlaga megegyezik. Minden ilyen tesztet általában Student t-tesztnek neveznek, bár szigorúan véve ezt az elnevezést csak akkor szabad használni, ha a két populáció varianciáját is egyenlőnek feltételezzük; a tesztnek azt a formáját, amelyet e feltételezés elhagyása esetén használnak, néha Welch t-tesztnek nevezik. Ezeket a teszteket gyakran nevezik nem páros vagy független minták t-tesztjének, mivel jellemzően akkor alkalmazzák, ha a két összehasonlítandó minta alapjául szolgáló statisztikai egységek nem fedik egymást[16].

Előfeltételek

Két független minta átlagát összehasonlító t-próba esetén a következő feltételeknek kell teljesülniük:

● A két összehasonlítandó populáció átlagainak normális eloszlást kell követniük. Gyenge feltételezések mellett ez nagy minták esetén a centrális határeloszlási tételből következik, még akkor is, ha az egyes csoportokban a megfigyelések eloszlása nem normális[17].

● Ha a t-próba eredeti Student-féle definícióját használjuk, a két összehasonlítandó populációnak azonos varianciával (szórásnégyzettel) kell rendelkeznie (F-próba, Levene-próba, Bartlett-próba vagy Brown-Forsythe-próba segítségével vizsgálható; vagy grafikusan értékelhető Q-Q-diagram segítségével). Ha a két összehasonlítandó csoport mintamérete egyenlő, akkor a Student-féle eredeti t-próba nagyon robusztus az egyenlőtlen varianciák jelenlétére.[18] A Welch-féle t-próba nem érzékeny a varianciák egyenlőségére, függetlenül attól, hogy a mintaméretek hasonlóak-e. A teszt elvégzéséhez használt adatokat vagy függetlenül kell mintavételezni a két összehasonlítandó populációból, vagy teljesen párosnak kell lenniük. Ez általában nem vizsgálható az adatokból, de ha az adatokról ismert, hogy összefüggőek (pl. párosak a vizsgálati terv alapján), akkor összetartozó mintás tesztet kell alkalmazni. Részben páros adatok esetén a klasszikus független t-próba érvénytelen eredményeket adhat, mivel a tesztstatisztika nem feltétlenül követi a t-eloszlást, míg az összetartozó mintás t-próba szuboptimális (nem éri el az optimális hatékonyságot), mivel elveti a nem páros adatokat[19].

A legtöbb kétmintás t-próba robusztus a feltételezésektől való nagy eltérések kivételével mindenre.[20]

A pontosság érdekében a t-próba és a Z-próba megköveteli a mintaátlagok normalitását, a t-próba pedig ezen felül megköveteli, hogy a minta szórása skálázott χ2 eloszlást kövessen, és hogy a mintaátlag és a minta szórása statisztikailag független legyen. Az egyes adatértékek normalitása nem szükséges, ha ezek a feltételek teljesülnek. A centrális határeloszlás-tétel szerint a közepesen nagy minták mintaátlagait gyakran jól megközelíti a normális eloszlás, még akkor is, ha az adatok nem normális eloszlásúak. Nem normális adatok esetén a minta szórásának eloszlása jelentősen eltérhet a χ2 eloszlástól.

Ha azonban a minta mérete nagy, a Slutsky-tétel szerint a minta szórásának eloszlása kevéssé befolyásolja a tesztstatisztika eloszlását.

Azaz, ahogy az n mintaméret nő: ${\displaystyle {{\sqrt {n}}({{\bar {X}}-{\mu }})}{\xrightarrow[{}]{d}}N(0,{\sigma }^{2})}$ a centrális határeloszlási tételből következtetve,

${\displaystyle {s^{2}}\rightarrow {\sigma ^{2}}}$ a nagy számok törvényéből következtetve,

${\displaystyle \therefore {\tfrac {{\sqrt {n}}({{\bar {X}}-{\mu }})}{s}}{\xrightarrow[{}]{d}}N(0,1)}$.

Páros és nem páros kétmintás t-tesztek

Az átlagok közötti különbségre vonatkozó kétmintás t-tesztek független mintákat (nem páros minták) vagy páros mintákat foglalnak magukban. A páros (összetartozó mintás) t-tesztek a hasonló egységek csoportba rendezésének (blokkolás) egy formája, és nagyobb statisztikai erővel rendelkeznek (másodfajú hiba, más néven hamis negatív hiba elkerülésének valószínűsége), mint a nem páros tesztek, ha a páros egységek hasonlóak a "zajtényezők" (lásd zavaró tényezők) tekintetében, amelyek függetlenek a két összehasonlított csoporthoz való tartozástól.[21] Más összefüggésben a páros t-tesztek használhatók a zavaró tényezők hatásának csökkentésére egy megfigyelési vizsgálatban.

Független (nem páros) minták

A független minták t-tesztjét akkor használják, amikor két különálló, független és azonos eloszlású mintát kapunk, és a két populációból ugyanazt a változót hasonlítjuk össze. Tegyük fel például, hogy egy orvosi kezelés hatását értékeljük, és 100 vizsgálati résztvevőt veszünk fel a vizsgálatba, majd véletlenszerűen 50 résztvevőt osztunk be a kezelési csoportba és 50 résztvevőt a kontrollcsoportba. Ebben az esetben két független mintánk van, és a t-próba nem páros formáját használnánk.

Páros minták

A páros mintás t-tesztek jellemzően hasonló egységek párjaiból álló mintából állnak, vagy egy olyan egységcsoportból, amelyet kétszer vizsgáltak ("ismételt mérések" t-teszt).

Az ismételt mérések t-tesztjének tipikus példája az, amikor a vizsgálati alanyokat egy kezelés előtt tesztelik, mondjuk magas vérnyomás miatt, és ugyanazokat a vizsgálati alanyokat a vérnyomáscsökkentő gyógyszeres kezelés után újra tesztelik. Azzal, hogy összehasonlítjuk ugyanazon páciensek számadatait a kezelés előtt és után, gyakorlatilag minden egyes pácienst saját kontrollként használunk. Így a független mintás eljáráshoz képest a nullhipotézis (itt: a kezelés nem okoz különbséget) helyes elutasítása sokkal valószínűbbé válhat, a statisztikai erő pedig megnő, egyszerűen azért, mert a betegek közötti véletlenszerű eltérés már megszűnt. A statisztikai teljesítmény növekedésének azonban ára van: minden egyes alanyt kétszer kell vizsgálni. Mivel a minta fele most már függ a másik felétől, a Student-féle t-próba páros (összetartozó mintás) változata már csak (n/2)-1 szabadságfokkal rendelkezik (ahol n a megfigyelések teljes száma).[22]

Szoftveres megoldások

Analógia más statisztikai próbákkal

Az egymintás és a kétmintás t-próba rokonítható rendre az egymintás és a kétmintás u-próbához, mivel ugyanazt a nullhipotézist vizsgálják ugyanolyan adottságok mellett.

Az egymintás esetben a hasonlóság még nagyobb, ugyanis az egymintás t-próba képlete csak annyiban tér el az egymintás u-próbáétól, hogy benne az előre megadott szórás helyén a minta alapján becsült szórás áll. Sőt, az egymintás t- és u-próba a legtöbb alkalmazási feltételben is azonos. Különbség a két próba között – az alkalmazás szintjén – mindössze egy feltételben van, mégpedig abban, hogy az egymintás t-próba nem igényli a vizsgált valószínűségi változó szórásának ismeretét, míg az egymintás u-próba esetében ez eleve adott kell, hogy legyen. (A matematikai háttérben az eltérés nagyobb.)

Források

1. The Microbiome in Health and Disease. Academic Press. 2020-05-29. p. 397. ISBN 978-0-12-820001-8.
2.  ^ Szabó, István (2003). "Systeme aus einer endlichen Anzahl starrer Körper". Einführung in die Technische Mechanik (in German). Springer Berlin Heidelberg. pp. 196–199. doi:10.1007/978-3-642-61925-0_16. ISBN 978-3-540-13293-6.
3. ^ Schlyvitch, B. (October 1937). "Untersuchungen über den anastomotischen Kanal zwischen der Arteria coeliaca und mesenterica superior und damit in Zusammenhang stehende Fragen". Zeitschrift für Anatomie und Entwicklungsgeschichte (in German). 107 (6): 709–737. doi:10.1007/bf02118337. ISSN 0340-2061. S2CID 27311567.
4. ^ Helmert (1876). "Die Genauigkeit der Formel von Peters zur Berechnung des wahrscheinlichen Beobachtungsfehlers directer Beobachtungen gleicher Genauigkeit". Astronomische Nachrichten (in German). 88 (8–9): 113–131. Bibcode:1876AN.....88..113H. doi:10.1002/asna.18760880802.
5. ^ Lüroth, J. (1876). "Vergleichung von zwei Werthen des wahrscheinlichen Fehlers". Astronomische Nachrichten (in German). 87 (14): 209–220. Bibcode:1876AN.....87..209L. doi:10.1002/asna.18760871402.
6. ^ Pfanzagl, J. (1996). "Studies in the history of probability and statistics XLIV. A forerunner of the t-distribution". Biometrika. 83 (4): 891–898. doi:10.1093/biomet/83.4.891. MR 1766040.
7. ^ Sheynin, Oscar (1995). "Helmert's work in the theory of errors". Archive for History of Exact Sciences. 49 (1): 73–104. doi:10.1007/BF00374700. ISSN 0003-9519. S2CID 121241599.
8. ^ Pearson, Karl (1895). "X. Contributions to the mathematical theory of evolution.—II. Skew variation in homogeneous material". Philosophical Transactions of the Royal Society of London A. 186: 343–414. Bibcode:1895RSPTA.186..343P. doi:10.1098/rsta.1895.0010.
9. ^{a b} Student (1908). "The Probable Error of a Mean" (PDF). Biometrika. 6 (1): 1–25. doi:10.1093/biomet/6.1.1. hdl:10338.dmlcz/143545. Retrieved 24 July 2016.
10. ^ "T Table".
11. ^ Wendl, Michael C. (2016). "Pseudonymous fame". Science. 351 (6280): 1406. doi:10.1126/science.351.6280.1406. PMID 27013722.
12. ^ Walpole, Ronald E. (2006). Probability & statistics for engineers & scientists. Myers, H. Raymond (7th ed.). New Delhi: Pearson. ISBN 81-7758-404-9. OCLC 818811849.
13. ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. "William Sealy Gosset". MacTutor History of Mathematics Archive. University of St Andrews.
14. ^ Raju, T. N. (2005). "William Sealy Gosset and William A. Silverman: Two 'Students' of Science". Pediatrics. 116 (3): 732–735. doi:10.1542/peds.2005-1134. PMID 16140715. S2CID 32745754.
15. ^ Dodge, Yadolah (2008). The Concise Encyclopedia of Statistics. Springer Science & Business Media. pp. 234–235. ISBN 978-0-387-31742-7.
16. Fadem, Barbara (2008). High-Yield Behavioral Science. High-Yield Series. Hagerstown, MD: Lippincott Williams & Wilkins. ISBN 9781451130300.
17. ^{a b c d} Lumley, Thomas; Diehr, Paula; Emerson, Scott; Chen, Lu (May 2002). "The Importance of the Normality Assumption in Large Public Health Data Sets". Annual Review of Public Health. 23 (1): 151–169. doi:10.1146/annurev.publhealth.23.100901.140546. ISSN 0163-7525. PMID 11910059.
18. ^ Markowski, Carol A.; Markowski, Edward P. (1990). "Conditions for the Effectiveness of a Preliminary Test of Variance". The American Statistician. 44 (4): 322–326. doi:10.2307/2684360. JSTOR 2684360.
19. ^ Guo, Beibei; Yuan, Ying (2017). "A comparative review of methods for comparing means using partially paired data". Statistical Methods in Medical Research. 26 (3): 1323–1340. doi:10.1177/0962280215577111. PMID 25834090. S2CID 46598415.
20. ^ Bland, Martin (1995). An Introduction to Medical Statistics. Oxford University Press. p. 168. ISBN 978-0-19-262428-4.
21. ^ Rice, John A. (2006). Mathematical Statistics and Data Analysis (3rd ed.). Duxbury Advanced.^{[ISBN missing]}
22. ^ Weisstein, Eric. "Student's t-Distribution". mathworld.wolfram.com.
23. ^ David, H. A.; Gunnink, Jason L. (1997). "The Paired t Test Under Artificial Pairing". The American Statistician. 51 (1): 9–12. doi:10.2307/2684684. JSTOR 2684684.
24. Michaletzky Gy. – Mogyoródi J. (1995): Matematikai statisztika. Budapest: Nemzeti Tankönyvkiadó.
25. Vargha András (2000): Matematikai statisztika pszichológiai, nyelvészeti és biológiai alkalmazásokkal. Budapest: Pólya Kiadó.

Fordítás

Ez a szócikk részben a Student's t-test című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.