Integrálszinusz

A kardinálszinusz (kékkel) és integrálja az integrálszinusz (pirossal).

A matematikai analízisben az integrálszinusz függvény az úgynevezett kardinálszinusz függvény 0-ban eltűnő integrálfüggvénye, azaz a

s i ( x ) = ∫ 0 x sin ⁡ ( t ) t d t {\displaystyle \mathrm {si} (x)=\int \limits _{0}^{x}{\cfrac {\sin(t)}{t}}\;\mathrm {d} t}

függvény. Neve a latin sinus integralis kifejezésből származik. Joseph Liouville hozta fel példaként arra, hogy léteznek olyan függvények, melyeknek integrálja nem fejezhető ki zárt alakban illetve a

f ′ ( x ) = sin ⁡ ( x ) x {\displaystyle f'(x)={\cfrac {\sin(x)}{x}}}

differenciálegyenlet nem integrálható kvadratúrával.

Előállítása végtelen sor formájában

Ugyan az integrálszinusz nem fejezhető ki zárt alakban, azonban függvénysorként igen. Az integrálszinusz a 0 pont körül Taylor-sorba fejthető, és a 0-beli Taylor-sora előállítja a függvényt, így analitikus függvény. A sor konvergensen kiterjeszthető komplex számok körében, ami a komplex integrálszinuszt adja:

S i ( z ) = z − z 3 3 ⋅ 3 ! + z 5 5 ⋅ 5 ! − z 7 7 ⋅ 7 ! + − ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( 2 k + 1 ) ! ⋅ ( 2 k + 1 ) z 2 k + 1 {\displaystyle \mathrm {Si} (z)=z\!-\!{\frac {z^{3}}{3\!\cdot \!3!}}\!+\!{\frac {z^{5}}{5\!\cdot \!5!}}\!-\!{\frac {z^{7}}{7\!\cdot \!7!}}\!+-\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!\cdot (2k+1)}}z^{2k+1}}

Ez annak a következménye, hogy kardinálszinusz egyenletesen konvergens sorösszeggel állítható elő:

sin ⁡ x x = 1 x sin ⁡ ( x ) = 1 x ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n {\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}={\frac {1}{x}}\sin(x)={\frac {1}{x}}\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n}}

A sor x=0-ban is konvergens és összege 1, így egyenletesen konvergens ezért a sorok integrálására vonatkozó tétel szerint:

∫ 0 x sin ⁡ t t d t = ∫ 0 x ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! t 2 n d t = ∑ n = 0 ∞ ∫ 0 x ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! t 2 n d t = {\displaystyle \int \limits _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\;\mathrm {d} t=\int \limits _{0}^{x}\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}t^{2n}\;\mathrm {d} t=\sum \limits _{n=0}^{\infty }\int \limits _{0}^{x}{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}t^{2n}\;\mathrm {d} t=}
= ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 2 n + 1 . {\displaystyle =\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}.}

Előállítása homogén lineáris differenciálegyenlet megoldásaként

A függvény másik lehetséges definiálási módja, hogy az

x f ‴ ( x ) + 2 f ″ ( x ) + x f ′ ( x ) = 0 {\displaystyle xf'''(x)\!+\!2f''(x)\!+\!xf'(x)=0}

közönséges, harmadrendű, függvényegyütthatós, homogén lineáris differenciálegyenlet (egy) megoldása.

További tulajdonságok

A szinusz integrálisz határértéke a végtelenben:

lim x → + ∞ s i ( x ) = π 2 {\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\mathrm {si} (x)={\cfrac {\pi }{2}}}

s mivel páratlan függvény, ezért

lim x → − ∞ s i ( x ) = − π 2 {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }\mathrm {si} (x)=-{\cfrac {\pi }{2}}}

illetve:

[ s i ] − ∞ + ∞ = ∫ − ∞ + ∞ sin ⁡ ( t ) t d t = π {\displaystyle [\mathrm {si} ]_{-\infty }^{+\infty }=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\cfrac {\sin(t)}{t}}\;\mathrm {d} t=\pi }