Arctg2

Az arctg2 függvény az arkusztangens (arctg) egyfajta általánosítása: alkalmas arra, hogy egy síkvektor y és x koordinátáiból – ügyelve a szokásoshoz képest fordított sorrendre – kiszámítsuk a vektor irányszögét (azaz az X-tengellyel bezárt szögét), nulla és 2π (vagy -π és π) között. Angol rövidítése: arctan2 vagy atan2.

Definíció

Az arctg2 függvény minden valós (y,x) értékpárra értelmezve van, kivéve a (0,0)-t, mivel a nullvektor irányszöge definiálatlan. A gépi megvalósítások általában nullát adnak vissza ebben az esetben.

Az alábbi definíció a (-π,π] tartományra képező változatot adja meg, egy gépi megvalósításra is alkalmas formában (azaz ügyelve arra, hogy az arkusztangenst az x/y és y/x számok közül a kisebb értékre (abszolút értékben) számítsuk ki).

${\displaystyle \operatorname {arctg2} (y,x)={\begin{cases}\operatorname {arctg} (y/x),&{\mbox{ha }}x\geq |y|\\\pi /2-\operatorname {arctg} (x/y),&{\mbox{ha }}y\geq |x|\\\pi +\operatorname {arctg} (y/x),&{\mbox{ha }}x\leq -y\leq 0\\-\pi +\operatorname {arctg} (y/x),&{\mbox{ha }}x\leq y<0\\-\pi /2-\operatorname {arctg} (x/y),&{\mbox{ha }}y\leq -|x|\\\end{cases}}}$

Ebből a változatból könnyen megkaphatjuk a [0,2π) tartományra képező változatot, ha a negatív értékekhez hozzáadunk 2π-t:

${\displaystyle \operatorname {arctg2} ^{+}(y,x)={\begin{cases}\operatorname {arctg} (y/x),&{\mbox{ha }}x\geq y\geq 0\\\pi /2-\operatorname {arctg} (x/y),&{\mbox{ha }}y\geq |x|\\\pi +\operatorname {arctg} (y/x),&{\mbox{ha }}x\leq -|y|\\3\pi /2-\operatorname {arctg} (x/y),&{\mbox{ha }}y\leq -|x|\\2\pi +\operatorname {arctg} (y/x),&{\mbox{ha }}x\geq -y>0\\\end{cases}}}$

Azonosságok

${\displaystyle \operatorname {sin} (\operatorname {arctg2} (y,x))=y/{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

${\displaystyle \operatorname {cos} (\operatorname {arctg2} (y,x))=x/{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

${\displaystyle \operatorname {arctg2} (ky,kx)=\operatorname {arctg2} (y,x);{\mbox{ha }}k>0}$

${\displaystyle \operatorname {arctg2} (ky,kx)=\pi +\operatorname {arctg2} (y,x);{\mbox{ha }}k<0}$

${\displaystyle \operatorname {arctg2} (-y,x)=-\operatorname {arctg2} (y,x)}$

${\displaystyle \operatorname {arctg2} (y,-x)=\pi -\operatorname {arctg2} (y,x)}$

${\displaystyle \operatorname {arctg2} (-y,-x)=-\pi +\operatorname {arctg2} (y,x)}$

${\displaystyle \operatorname {arctg2} (x,y)=\pi /2-\operatorname {arctg2} (y,x)}$

(A fenti azonosságok a szögfüggvények periodikus volta miatt „2π erejéig” érvényesek.)

${\displaystyle \operatorname {arctg2} (y,x)=2\operatorname {arctg} {\frac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}}}$

(Kizárva az ${\displaystyle y=0}$, ${\displaystyle x\leq 0}$ esetet.)

${\displaystyle \operatorname {arctg2} (y,x)=2\operatorname {arctg} {\frac {{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-x}{y}}.}$

(Kizárva az ${\displaystyle y=0}$ esetet.)

Deriváltja

${\displaystyle \partial _{y}\operatorname {arctg2} (y,x)=x/(x^{2}+y^{2})}$

${\displaystyle \partial _{x}\operatorname {arctg2} (y,x)=-y/(x^{2}+y^{2})}$

${\displaystyle \partial _{y}(y\operatorname {arctg2} (y,x)-1/2\ x\ \ln(x^{2}+y^{2}))=\operatorname {arctg2} (y,x)}$

${\displaystyle \partial _{x}(x\operatorname {arctg2} (y,x)+1/2\ y\ \ln(x^{2}+y^{2}))=\operatorname {arctg2} (y,x)}$

Megjegyzések

Érdekes lehet összehasonlítani az arctg2 fenti képletét azzal, amivel az arcsin és arccos függvényeket számíthatjuk ki az arctg felhasználásával:

${\displaystyle \arcsin(x)=\operatorname {arctg2} (x,{\sqrt {1-x^{2}}})={\begin{cases}-\pi /2-\operatorname {arctg} ({\sqrt {1-x^{2}}}/x),&{\mbox{ha }}x<-{\sqrt {1/2}}\\\operatorname {arctg} (x/{\sqrt {1-x^{2}}}),&{\mbox{ha }}|x|\leq {\sqrt {1/2}}\\\pi /2-\operatorname {arctg} ({\sqrt {1-x^{2}}}/x),&{\mbox{ha }}x>{\sqrt {1/2}}\\\end{cases}}}$

(Az értékkészlet [-π/2,π/2])

${\displaystyle \arccos(x)=\operatorname {arctg2} ({\sqrt {1-x^{2}}},x)={\begin{cases}\pi +\operatorname {arctg} ({\sqrt {1-x^{2}}}/x),&{\mbox{ha }}x<-{\sqrt {1/2}}\\\pi /2-\operatorname {arctg} (x/{\sqrt {1-x^{2}}}),&{\mbox{ha }}|x|\leq {\sqrt {1/2}}\\\operatorname {arctg} ({\sqrt {1-x^{2}}}/x),&{\mbox{ha }}x>{\sqrt {1/2}}\\\end{cases}}}$

(Az értékkészlet [0,π])

Érdemes továbbá megemlíteni, hogy a komplex számokon értelmezett arg függvény az alábbi képlettel vezethető vissza az arctg2 függvényre:

${\displaystyle \arg(a+bi)=\operatorname {arctg2} (b,a)}$

Ennek alapján komplex számok logaritmusát így írhatjuk fel (k és l tetszőleges egész):

${\displaystyle \operatorname {ln} (a+bi)=\operatorname {ln} ({\sqrt {a^{2}+b^{2}}})+(\operatorname {arctg2} (b,a)+2k\pi )i}$

${\displaystyle \operatorname {log} _{c+di}(a+bi)={\dfrac {\operatorname {ln} ({\sqrt {a^{2}+b^{2}}})+(\operatorname {arctg2} (b,a)+2k\pi )i}{\operatorname {ln} ({\sqrt {c^{2}+d^{2}}})+(\operatorname {arctg2} (d,c)+2l\pi )i}}}$

Az arctg2 függvény háromdimenziós megfelelője az a (kétértékű, háromváltozós) függvény, amely egy (x,y,z) koordinátákkal definiált térvektorhoz adja meg a ϕ és θ szögeket:

${\displaystyle \phi =\operatorname {arctg2} (y,x)}$

${\displaystyle \theta =\operatorname {arctg2} (z,{\sqrt {x^{2}+y^{2}}})}$