Le théorème des croissances comparées est constitué de quelques résultats de limites de fonctions qui seraient qualifiées de « formes indéterminées » par la méthode usuelle pour la limite d'un produit ou d'un quotient.
Énoncé
Plus généralement, pour tous réels strictement positifs a et b[1],
L'hypothèse a > 0 est indispensable. Supposer de plus b > 0 est en fait inutile (pour b ≤ 0, les limites considérées ne sont pas des formes indéterminées).
Démonstrations
Article détaillé : Indétermination de la forme ∞/∞.
On peut s'appuyer sur le cas particulier suivant de (1), dont plusieurs preuves sont indiquées dans l'article détaillé : En choisissant n ≥ b, on obtient en effet :
en posant y = ax :
en posant y = –ax :
en posant y = a lnx :
en posant y = –a lnx :
Chacune des quatre limites peut aussi se déduire de n'importe laquelle des trois autres par changement de variable.
Note et référence
↑Claude Deschamps, François Moulin, André Warusfelet al., Mathématiques tout-en-un PCSI-PTSI : nouveau programme 2013, Dunod, (lire en ligne), p. 199.
Voir aussi
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