Polynôme d'Askey-Wilson

En mathématiques, les polynômes d'Askey-Wilson (ou q-polynômes de Wilson) sont une famille particulière de polynômes orthogonaux. Ils ont été introduits par Richard Askey et James A. Wilson en 1985^[1], et sont nommés d'après eux. Ces polynômes sont des q-analogues d'une autre famille de polynômes orthogonaux, les polynômes de Wilson (en).

La famille des polynômes d'Askey-Wilson comprend de nombreux autres polynômes orthogonaux comme cas particuliers, soit en une variable, soit comme cas limite, dans le cadre décrit par le schéma d'Askey (en). Les polynômes d'Askey-Wilson sont à leur tour des cas particuliers des polynômes de Macdonald (ou des polynômes de Koornwinder) pour certains systèmes affines de racines (en).

Définition

Les polynômes d'Askey-Wilson sont définis par :

p_{n}(x;a,b,c,d\mid q)=(ab,ac,ad;q)_{n}a^{-n}\;_{4}\phi _{3}\left[{\begin{matrix}q^{-n}&abcdq^{n-1}&a{\rm {e}}^{{\rm {i}}\theta }&a{\rm {e}}^{-{\rm {i}}\theta }\\ab&ac&ad\end{matrix}};q,q\right]

où $\phi$ est une fonction hypergéométrique de base (en), $x=\cos(\theta )$ et $(\cdot ,\cdot ,\cdot ,\cdot )_{n}$ est le q-symbole de Pochhammer étendu par la formule $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r};q)_{n}:=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{r};q)_{n}$ . Ce sont des polynômes de degré n en $x=\cos \theta$ .

Symétrie

Les polynômes $p_{n}(x;a,b,c,d\mid q)$ sont symétriques en les paramètres $a,b,c,d$ . Pour $x=(a+a^{-1})/2$ , ils prennent la valeur particulière

p_{n}((a+a^{-1})/2;a,b,c,d\mid q)=(ab,ac,ad;q)_{n}a^{-n}

et de même $x(b+b^{-1})/2,(c+c^{-1})/2$ et $(d+d^{-1})/2$ . Pour des entiers $m,n$ positifs ou nuls, il y a vérifient la relation de dualité

{\frac {p_{n}((a^{-1}q^{-m}+aq^{m})/2;a,b,c,d\mid q)}{p_{n}((a^{-1}+a)/2;a,b,c,d\mid q)}}={\frac {p_{m}(({\check {a}}^{-1}q^{-n}+{\check {a}}q^{n})/2;{\check {a}},{\check {b}},{\check {c}},{\check {d}}\mid q)}{p_{m}(({\check {a}}^{-1}+{\check {a}})/2;{\check {a}},{\check {b}},{\check {c}},{\check {d}}\mid q)}}

pour $a=q^{-1/2}({\check {a}}{\check {b}}{\check {c}}{\check {d}})^{1/2}$ et $ab={\check {a}}{\check {b}}$ , $ac={\check {a}}{\check {c}}$ , $ad={\check {a}}{\check {d}}$ .

Orthogonalité

Pour $0<q<1$ , et pour quatre nombres réels $a,b,c,d$ vérifiant $|a|,|b|,|c|,|d|<1$ , on a la relation d'orthogonalité :

\int _{-1}^{1}p_{n}(x)p_{m}(x)w(x)\,{\rm {d}}x=h_{n}\,\delta _{n,m},

avec

h_{0}:={\frac {(abcd;q)_{\infty }}{(q,ab,ac,ad,bc,bd,cd;q)_{\infty }}}\,,\quad {\frac {h_{n}}{h_{0}}}:={\frac {1-abcdq^{n-1}}{1-abcdq^{2n-1}}}\,{\frac {(q,ab,ac,ad,bc,bd,cd;q)_{n}}{(abcd;q)_{n}}}.

Pour des valeurs plus générales des paramètres, il existe une relation sous forme d'une intégrale de contour. Le cas particulier de l’équation pour $n=m=0$ est appelé l'intégrale d'Askey-Wilson.

Spécialisation des paramètres

Par la spécialisation de certains paramètres, on retrouve d'autres familles de polynômes orthogonaux (comme ci-dessus, $x=\cos \theta$ ) :

Polynômes de Al-Salam-Chihara :

Q_{n}(x;a,b\mid q):=p_{n}(x;a,b,0,0\mid q)

Polynômes de q-Jacobi continus :

P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x;q)\propto \,p_{n}(x;q^{\frac {1}{2}},q^{\alpha +{\frac {1}{2}}},-q^{\beta +{\frac {1}{2}}},-q^{\frac {1}{2}}\mid q)\propto \,p_{n}(x;q^{\alpha +{\frac {1}{2}}},q^{\alpha +{\frac {3}{2}}},-q^{\beta +{\frac {1}{2}}},-q^{\beta +{\frac {3}{2}}}\mid q^{2})

Polynômes q-ultrasphériques continus :

C_{n}(x;\beta \mid q):={\frac {(\beta ;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}\,p_{n}(x;\beta ^{\frac {1}{2}},\beta ^{\frac {1}{2}}q^{\frac {1}{2}},-\beta ^{\frac {1}{2}},-\beta ^{\frac {1}{2}}q^{\frac {1}{2}}\mid q)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(\beta ;q)_{k}(\beta ;q)_{n-k}}{(q;q)_{k}(q;q)_{n-k}}}\,{\rm {e}}^{{\rm {i}}(n-2k)\theta }

Polynômes de q-Hermite continus :

H_{n}(x\mid q):=(q;q)_{n}\,C_{n}(x;0\mid q)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(q;q)_{n}}{(q;q)_{k}(q;q)_{n-k}}}\,{\rm {e}}^{{\rm {i}}(n-2k)\theta }

Polynômes de Tchebychev :

p_{n}(x;1,-1,q^{\frac {1}{2}},-q^{\frac {1}{2}}\mid q)\propto \,\cos n\theta ,\quad p_{n}(x;q,-q,q^{\frac {1}{2}},-q^{\frac {1}{2}}\mid q)\propto \,{\frac {\sin(n+1)\theta }{\sin \theta }}

p_{n}(x;q,-1,q^{\frac {1}{2}},-q^{\frac {1}{2}}\mid q)\propto \,{\frac {\sin(n+{\frac {1}{2}})\theta }{\sin {\frac {1}{2}}\theta }}\,,\quad p_{n}(x;1,-q,q^{\frac {1}{2}},-q^{\frac {1}{2}}\mid q)\propto \,{\frac {\cos(n+{\frac {1}{2}})\theta }{\cos {\frac {1}{2}}\theta }}

Cas limites

Polynômes de Wilson :

W_{n}(y^{2};a,b,c,d)=\lim _{q\uparrow 1}(1-q)^{-3n}p_{n}({\tfrac {1}{2}}(q^{{\rm {i}}y}+q^{-{\rm {i}}y});q^{a},q^{b},q^{c},q^{d}\mid q)

Polynômes de Jacobi :

P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=\lim _{q\uparrow 1}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x;q)

Polynômes ultrasphériques :

C_{n}^{\lambda }(x)=\lim _{q\uparrow 1}C_{n}(x;q^{\lambda }\mid q)

Polynômes d'Hermite :

H_{n}(x)=\lim _{q\uparrow 1}(1-q)^{-n/2}H_{n}((1-q)^{1/2}x\mid q^{2})

Voir aussi

Schéma d'Askey (en)
Liste de polynômes remarquables

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Askey–Wilson polynomials » (voir la liste des auteurs).

↑ Richard Askey et James Wilson, Some basic hypergeometric orthogonal polynomials that generalize Jacobi polynomials, coll. « Memoirs of the American Mathematical Society » (n^o 54), 1985, iv+55 (ISBN 978-0-8218-2321-7, DOI 10.1090/memo/0319, MR 783216, lire en ligne).

Bibliographie

George Gasper et Mizan Rahman, Basic hypergeometric series, Cambridge University Press, coll. « Encyclopedia of Mathematics and its Applications » (n^o 96), 2004, 2^e éd., 428 p. (ISBN 978-0-521-83357-8, MR 2128719, lire en ligne)
Tom H. Koornwinder, Roderick S. C. Wong, Roelof Koekoek et René F. Swarttouw, « Askey-Wilson class », dans : Frank W. J. Olver, Daniel M. Lozier, Ronald F. Boisvert, Charles W. Clark (éditeurs), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press (ISBN 978-0521192255, MR 2723248).
Tom H. Koornwinder, « Askey-Wilson polynomial », Scholarpedia, vol. 7, n^o 7,‎ 2012, p. 7761 (DOI 10.4249/scholarpedia.7761, lire en ligne)