Le logarithme népérien (ou naturel) du nombre 2 a pour développement décimal (suite A002162 de l'OEIS ) :
ln 2 = 0 , 693 147 180 559 945 309 417 232 121 458 ⋯ {\displaystyle \ln 2=0,693\,147\,180\,559\,945\,309\,417\,232\,121\,458\cdots } Le logarithme de 2 en base quelconque s'obtient par la formule :
log b 2 = ln 2 ln b . {\displaystyle \log _{b}2={\frac {\ln 2}{\ln b}}.} En particulier, le logarithme décimal a pour développement (
log 10 2 = 0 , 301 029 995 663 981 195 ⋯ {\displaystyle \log _{10}2=0,301\,029\,995\,663\,981\,195\cdots } L'inverse de ce nombre est le logarithme binaire de 10 :
log 2 10 = 1 log 10 2 = 3 , 321 928 095 ⋯ {\displaystyle \log _{2}10={\frac {1}{\log _{10}2}}=3,321\,928\,095\cdots } D'après le théorème de Lindemann-Weierstrass , le logarithme népérien (ou naturel) de tout entier naturel autre que 0 et 1 (plus généralement, de tout nombre algébrique positif autre que 1) est un nombre transcendant.
Développements en série Séries alternées La valeur numérique de ln 2 peut s'obtenir avec la fameuse « série harmonique alternée » :
ln 2 = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + 1 5 − 1 6 + ⋯ . {\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots .} Sa convergence lente la rend d'un intérêt peu pratique, mais on peut construire des formules plus efficaces :
ln 2 = 1 2 + 1 2 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n ( n + 1 ) ; {\displaystyle \ln 2={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)}}\;;} ln 2 = 5 8 + 1 2 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ; {\displaystyle \ln 2={\frac {5}{8}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)}}\;;} ln 2 = 2 3 + 3 4 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ; {\displaystyle \ln 2={\frac {2}{3}}+{\frac {3}{4}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)}}\;;} ln 2 = 131 192 + 3 2 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ( n + 4 ) ; {\displaystyle \ln 2={\frac {131}{192}}+{\frac {3}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}}\;;} ln 2 = 661 960 + 15 4 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ( n + 4 ) ( n + 5 ) . {\displaystyle \ln 2={\frac {661}{960}}+{\frac {15}{4}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}}\;.} Séries monotones ln 2 = ∑ n = 1 ∞ 1 2 n n ; {\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n}}\;;} ln 2 = 1 − ∑ n = 1 ∞ 1 2 n n ( n + 1 ) ; {\displaystyle \ln 2=1-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)}}\;;} ln 2 = 1 2 + 2 ∑ n = 1 ∞ 1 2 n n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ; {\displaystyle \ln 2={\frac {1}{2}}+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)(n+2)}}\;;} ln 2 = 5 6 − 6 ∑ n = 1 ∞ 1 2 n n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ; {\displaystyle \ln 2={\frac {5}{6}}-6\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)}}\;;} ln 2 = 7 12 + 24 ∑ n = 1 ∞ 1 2 n n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ( n + 4 ) ; {\displaystyle \ln 2={\frac {7}{12}}+24\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}}\;;} ln 2 = 47 60 − 120 ∑ n = 1 ∞ 1 2 n n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ( n + 4 ) ( n + 5 ) . {\displaystyle \ln 2={\frac {47}{60}}-120\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}}.} Démonstration
Ces égalités se déduisent des développements en série entière obtenus dans la section précédente, pris en x = − 1 2 {\displaystyle x=-{\frac {1}{2}}} ln 2 = − ln ( 1 − 1 2 ) {\textstyle \ln 2=-\ln \left(1-{\frac {1}{2}}\right)}
ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 x n n . {\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}}.} D'où :
ln ( 1 − 1 2 ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 ( − 1 2 ) n n . {\displaystyle \ln \left(1-{\frac {1}{2}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}\left(-{\frac {1}{2}}\right)^{n}}{n}}.} Soit, en simplifiant :
ln 2 = ∑ n = 1 ∞ 1 2 n n . {\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n}}.} De même, on a vu que :
( 1 + x ) ln ( 1 + x ) − x = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 x n + 1 n ( n + 1 ) . {\displaystyle (1+x)\ln(1+x)-x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}x^{n+1}}{n(n+1)}}.} D'où :
( 1 − 1 2 ) ln ( 1 − 1 2 ) − ( − 1 2 ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 ( − 1 2 ) n + 1 n ( n + 1 ) . {\displaystyle \left(1-{\frac {1}{2}}\right)\ln \left(1-{\frac {1}{2}}\right)-\left(-{\frac {1}{2}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}\left(-{\frac {1}{2}}\right)^{n+1}}{n(n+1)}}.} Soit, en simplifiant :
− 1 2 ln 2 + 1 2 = 1 2 ∑ n = 1 ∞ 1 2 n n ( n + 1 ) . {\displaystyle -{\frac {1}{2}}\ln 2+{\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)}}.} , etc.
Autres développements en série ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 2 ) = ln 2 ; {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)(2n+2)}}=\ln 2\;;} ∑ n = 1 ∞ 1 n ( 4 n 2 − 1 ) = 2 ln 2 − 1 ; {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(4n^{2}-1)}}=2\ln 2-1\;;} ∑ n = 1 ∞ 1 ( 4 n ) 3 − 4 n = − 1 2 + 3 4 ln 2 ; {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(4n)^{3}-4n}}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {3}{4}}\ln 2;} ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n n ( 4 n 2 − 1 ) = ln 2 − 1 ; {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(4n^{2}-1)}}=\ln 2-1\;;} ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n n ( 9 n 2 − 1 ) = 2 ln 2 − 3 2 ; {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(9n^{2}-1)}}=2\ln 2-{\frac {3}{2}}\;;} ∑ n = 1 ∞ 1 4 n 2 − 2 n = ln 2 ; {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4n^{2}-2n}}=\ln 2\;;} ∑ n = 1 ∞ 2 ( − 1 ) n + 1 ( 2 n − 1 ) + 1 8 n 2 − 4 n = ln 2 ; {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(-1)^{n+1}(2n-1)+1}{8n^{2}-4n}}=\ln 2\;;} ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 3 n + 1 ) ( 3 n + 2 ) = 2 ln 2 3 ; {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(3n+1)(3n+2)}}={\frac {2\ln 2}{3}}\;;} ∑ n = 1 ∞ 1 4 n 2 − 3 n = ln 2 + π 6 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4n^{2}-3n}}=\ln 2+{\frac {\pi }{6}}} nombres décagonaux ). Démonstration
Les sommes de ces séries peuvent être obtenues en décomposant les termes de la série en éléments simples. Par exemple :
∀ n ∈ N , 1 ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 2 ) = 1 2 n + 1 − 1 2 n + 2 {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,{\frac {1}{(2n+1)(2n+2)}}={\frac {1}{2n+1}}-{\frac {1}{2n+2}}} donc
∀ N ∈ N , ∑ n = 0 N 1 ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 2 ) = ∑ n = 0 N ( 1 2 n + 1 − 1 2 n + 2 ) = ∑ n = 0 N ( 1 2 n + 1 + 1 2 n + 2 − 1 2 n + 2 − 1 2 n + 2 ) = ∑ n = 1 2 N + 2 1 n − ∑ n = 1 N + 1 1 n = ∑ n = N + 1 2 N + 2 1 n {\displaystyle {\begin{aligned}\forall N\in \mathbb {N} ,\sum _{n=0}^{N}{\frac {1}{(2n+1)(2n+2)}}&=\sum _{n=0}^{N}\left({\frac {1}{2n+1}}-{\frac {1}{2n+2}}\right)\\&=\sum _{n=0}^{N}\left({\frac {1}{2n+1}}+{\frac {1}{2n+2}}-{\frac {1}{2n+2}}-{\frac {1}{2n+2}}\right)=\sum _{n=1}^{2N+2}{\frac {1}{n}}-\sum _{n=1}^{N+1}{\frac {1}{n}}\\&=\sum _{n=N+1}^{2N+2}{\frac {1}{n}}\end{aligned}}} Pour conclure, il faut ici utiliser le développement asymptotique de la série harmonique :
∑ n = 1 2 N + 2 1 n − ∑ n = 1 N + 1 1 n = [ ln ( 2 N + 2 ) + γ + o ( 1 ) ] − [ ln ( N + 1 ) + γ + o ( 1 ) ] = ln ( 2 N + 2 N + 1 ) + o ( 1 ) = ln 2 + o ( 1 ) . {\displaystyle \sum _{n=1}^{2N+2}{\frac {1}{n}}-\sum _{n=1}^{N+1}{\frac {1}{n}}={\bigl [}\ln(2N+2)+\gamma +o(1){\bigr ]}-{\bigl [}\ln(N+1)+\gamma +o(1){\bigr ]}=\ln \left({\frac {2N+2}{N+1}}\right)+o(1)=\ln 2+o(1).}
∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 3 n + 1 = ln 2 3 + π 3 3 ; {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3n+1}}={\frac {\ln 2}{3}}+{\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}\;;} ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 3 n + 2 = − ln 2 3 + π 3 3 ; {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3n+2}}=-{\frac {\ln 2}{3}}+{\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}\;;} ∑ n = 1 ∞ 1 ∑ k = 1 n k 2 = 18 − 24 ln 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\sum _{k=1}^{n}k^{2}}}=18-24\ln 2} lim N → ∞ ∑ n = N 2 N 1 n = ln 2 ; {\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }\sum _{n=N}^{2N}{\frac {1}{n}}=\ln 2\;;} Développements impliquant la fonction zêta de Riemann ∑ n = 1 ∞ ζ ( 2 n ) − 1 n = ln 2 ; {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n}}=\ln 2\;;} ∑ n = 2 ∞ ζ ( n ) − 1 2 n = ln 2 − 1 2 ; {\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\zeta (n)-1}{2^{n}}}=\ln 2-{\frac {1}{2}}\;;} ∑ n = 1 ∞ ζ ( 2 n + 1 ) − 1 2 n + 1 = 1 − γ − ln 2 2 ; {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n+1)-1}{2n+1}}=1-\gamma -{\frac {\ln 2}{2}}\;;} ∑ n = 1 ∞ ζ ( 2 n ) 2 2 n − 1 ( 2 n + 1 ) = 1 − ln 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)}{2^{2n-1}(2n+1)}}=1-\ln 2} (ici γ ζ fonction zêta de Riemann ).
Développements issus du développement en série entière du logarithme au voisinage de 1 Ce développement du logarithme népérien (ou naturel) s'écrit : ln ( 1 − x ) = − ∑ n = 1 ∞ x n n ( 1 ) {\displaystyle \ln(1-x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}\ (1)} x ∈ [ − 1 , 1 [ {\displaystyle x\in \left[-1,1\right[}
Il donne ln 1 + x 1 − x = 2 x ∑ k = 0 ∞ x 2 k 2 k + 1 ( 2 ) {\displaystyle \ln {\frac {1+x}{1-x}}=2x\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{2k}}{2k+1}}\ (2)} x ∈ ] − 1 , 1 [ {\displaystyle x\in \left]-1,1\right[}
On obtient :
ln 2 = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 n {\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}} x = − 1 {\displaystyle x=-1} ln 2 = ∑ n = 1 ∞ 1 2 n n {\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n}}} x = 1 / 2 {\displaystyle x=1/2} ln 2 = 2 3 ∑ k = 0 ∞ 1 9 k ( 2 k + 1 ) {\displaystyle \ln 2={\frac {2}{3}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{9^{k}(2k+1)}}} x = 1 / 3 {\displaystyle x=1/3} En écrivant 2 = 3 2 ⋅ 4 3 {\displaystyle \textstyle 2={\frac {3}{2}}\cdot {\frac {4}{3}}}
ln 2 = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 2 n n + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 3 n n ; {\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2^{n}n}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{3^{n}n}}\;;} ln 2 = ∑ n = 1 ∞ 1 3 n n + ∑ n = 1 ∞ 1 4 n n ; {\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3^{n}n}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4^{n}n}}\;;} ln 2 = 2 5 ∑ k = 0 ∞ 1 25 k ( 2 k + 1 ) + 2 7 ∑ k = 0 ∞ 1 49 k ( 2 k + 1 ) . {\displaystyle \ln 2={\frac {2}{5}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{25^{k}(2k+1)}}+{\frac {2}{7}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{49^{k}(2k+1)}}.} En écrivant 2 = ( 2 ) 2 {\displaystyle \textstyle 2=({\sqrt {2}})^{2}}
ln 2 = 2 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 ( 2 + 1 ) n n ; {\displaystyle \ln 2=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{({\sqrt {2}}+1)^{n}n}}\;;} ln 2 = 2 ∑ n = 1 ∞ 1 ( 2 + 2 ) n n ; {\displaystyle \ln 2=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2+{\sqrt {2}})^{n}n}}\;;} ln 2 = 4 3 + 2 2 ∑ k = 0 ∞ 1 ( 17 + 12 2 ) k ( 2 k + 1 ) . {\displaystyle \ln 2={\frac {4}{3+2{\sqrt {2}}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(17+12{\sqrt {2}})^{k}(2k+1)}}.} En écrivant 2 = ( 16 15 ) 7 ⋅ ( 81 80 ) 3 ⋅ ( 25 24 ) 5 {\displaystyle \textstyle 2={\left({\frac {16}{15}}\right)}^{7}\cdot {\left({\frac {81}{80}}\right)}^{3}\cdot {\left({\frac {25}{24}}\right)}^{5}}
ln 2 = 7 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 15 n n + 3 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 80 n n + 5 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 24 n n ; {\displaystyle \ln 2=7\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{15^{n}n}}+3\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{80^{n}n}}+5\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{24^{n}n}}\;;} ln 2 = 7 ∑ n = 1 ∞ 1 16 n n + 3 ∑ n = 1 ∞ 1 81 n n + 5 ∑ n = 1 ∞ 1 25 n n ; {\displaystyle \ln 2=7\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{16^{n}n}}+3\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{81^{n}n}}+5\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{25^{n}n}}\;;} ln 2 = 14 31 ∑ k = 0 ∞ 1 961 k ( 2 k + 1 ) + 6 161 ∑ k = 0 ∞ 1 25921 k ( 2 k + 1 ) + 10 49 ∑ k = 0 ∞ 1 2401 k ( 2 k + 1 ) . {\displaystyle \ln 2={\frac {14}{31}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{961^{k}(2k+1)}}+{\frac {6}{161}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{25921^{k}(2k+1)}}+{\frac {10}{49}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2401^{k}(2k+1)}}.} Développements de type BBP Article détaillé : Formule BBP.
Une formule de calcul de ln 2 se déduit de la démonstration de la formule BBP :
ln 2 = 2 3 + 1 2 ∑ k = 1 ∞ ( 1 2 k + 1 4 k + 1 + 1 8 k + 4 + 1 16 k + 12 ) 1 16 k . {\displaystyle \ln 2={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2k}}+{\frac {1}{4k+1}}+{\frac {1}{8k+4}}+{\frac {1}{16k+12}}\right){\frac {1}{16^{k}}}.} Démonstration
Notons pour tout entier n S n = ∑ k = 0 ∞ 1 16 k ( 8 k + n ) {\displaystyle S_{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}(8k+n)}}}
( 0 ) ∀ r ∈ C π = ( 4 + 8 r ) S 1 − 8 r S 2 − 4 r S 3 − ( 2 + 8 r ) S 4 − ( 1 + 2 r ) S 5 − ( 1 + 2 r ) S 6 + r S 7 {\displaystyle (0)\quad \forall r\in \mathbb {C} \qquad \pi \ =\ (4+8r)S_{1}-8rS_{2}-4rS_{3}-(2+8r)S_{4}-(1+2r)S_{5}-(1+2r)S_{6}+rS_{7}} On pose α = 1 − i = 2 e − i π / 4 {\displaystyle \alpha =1-\mathrm {i} ={\sqrt {2}}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \pi /4}}
I = ∫ 0 1 d y α − y . {\displaystyle I=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} y}{\alpha -y}}.} Elle est d'une part reliée aux Sn par
I = 1 α ∫ 0 1 d y 1 − y / α = 1 α ∫ 0 1 ∑ m = 0 ∞ y m α m d y = ∑ m = 0 ∞ e i ( m + 1 ) π / 4 ( m + 1 ) 2 m + 1 2 = 1 + i 2 S 1 + i 2 S 2 + − 1 + i 4 S 3 − 1 4 S 4 − 1 + i 8 S 5 − i 8 S 6 + 1 − i 16 S 7 + 1 16 S 8 {\displaystyle {\begin{aligned}I&={\frac {1}{\alpha }}\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} y}{1-y/\alpha }}={\frac {1}{\alpha }}\int _{0}^{1}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {y^{m}}{\alpha ^{m}}}\mathrm {d} y=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (m+1)\pi /4}}{(m+1)2^{\frac {m+1}{2}}}}\\&={\frac {1+\mathrm {i} }{2}}S_{1}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}S_{2}+{\frac {-1+\mathrm {i} }{4}}S_{3}-{\frac {1}{4}}S_{4}-{\frac {1+\mathrm {i} }{8}}S_{5}-{\frac {\mathrm {i} }{8}}S_{6}+{\frac {1-\mathrm {i} }{16}}S_{7}+{\frac {1}{16}}S_{8}\end{aligned}}} et d'autre part calculable par des méthodes élémentaires (en calculant séparément sa partie réelle et sa partie imaginaire), ou de façon plus synthétique via le logarithme complexe :
I = − [ ln ( α − y ) ] 0 1 = ln ( α α − 1 ) = ln ( 1 + i ) = ln ( 2 e i π / 4 ) = ln 2 2 + i π 4 . {\displaystyle {\begin{aligned}I&=-\left[\ln(\alpha -y)\right]_{0}^{1}=\ln \left({\frac {\alpha }{\alpha -1}}\right)=\ln(1+\mathrm {i} )=\ln({\sqrt {2}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi /4})={\frac {\ln 2}{2}}+\mathrm {i} {\frac {\pi }{4}}.\end{aligned}}} L'égalité entre ces deux expressions de I permet de déduire l'égalité entre leurs parties réelles, soit :
ln 2 = 2 R e ( I ) = S 1 − 1 2 S 3 − 1 2 S 4 − 1 4 S 5 + 1 8 S 7 + 1 8 S 8 . {\displaystyle \ln 2=2\mathrm {Re} (I)=S_{1}-{\frac {1}{2}}S_{3}-{\frac {1}{2}}S_{4}-{\frac {1}{4}}S_{5}+{\frac {1}{8}}S_{7}+{\frac {1}{8}}S_{8}.}
Représentations intégrales Le logarithme népérien (ou naturel) de 2 apparaît fréquemment à la suite d'une intégration. Par exemple :
I 1 = ∫ 0 1 d x 1 + x = ∫ 1 2 d x x = ln 2 {\displaystyle I_{1}=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{1+x}}=\int _{1}^{2}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}=\ln 2} I 2 = ∫ 0 + ∞ 2 − x d x = 1 ln 2 {\displaystyle I_{2}=\int _{0}^{+\infty }2^{-x}\mathrm {d} x={\frac {1}{\ln 2}}} I 3 = ∫ 0 π 3 tan x d x = 2 ∫ 0 π 4 tan x d x = ln 2 {\displaystyle I_{3}=\int _{0}^{\frac {\pi }{3}}\tan x\,\mathrm {d} x=2\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\tan x\,\mathrm {d} x=\ln 2} I 4 = ∫ 0 + ∞ e − x − e − 2 x x d x = ln 2 {\displaystyle I_{4}=\int _{0}^{+\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{-x}-\mathrm {e} ^{-2x}}{x}}\,\mathrm {d} x=\ln 2} I 5 = ∫ 0 1 x − 1 ln x d x = ln 2 {\displaystyle I_{5}=\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{\ln x}}\,\mathrm {d} x=\ln 2} I 6 = ∫ 0 + ∞ cos x − cos 2 x x d x = ln 2 {\displaystyle I_{6}=\int _{0}^{+\infty }{\frac {\cos x-\cos 2x}{x}}\,\mathrm {d} x=\ln 2} I 7 = 2 π ∫ 0 + ∞ arctan 2 x − arctan x x d x = ln 2 {\displaystyle I_{7}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{+\infty }{\frac {\arctan 2x-\arctan x}{x}}\,\mathrm {d} x=\ln 2}
I 8 = − 1 i π ∫ 0 ∞ ln x ln ln x ( x + 1 ) 2 d x = ln 2 {\displaystyle I_{8}=-{\frac {1}{\mathrm {i} \pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {\ln x\ln \ln x}{(x+1)^{2}}}\,\mathrm {d} x=\ln 2} Autres représentations Développement en série d'Engel :
ln 2 = 1 2 + 1 2 ⋅ 3 + 1 2 ⋅ 3 ⋅ 7 + 1 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 9 + ⋯ {\displaystyle \ln 2={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 7}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 7\cdot 9}}+\cdots } Développement en série de Pierce (analogue au développement d'Engel, mais avec des signes alternés) :
ln 2 = 1 − 1 1 ⋅ 3 + 1 1 ⋅ 3 ⋅ 12 − ⋯ {\displaystyle \ln 2=1-{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 12}}-\cdots } Développement en cotangente continue de Lehmer :
ln 2 = cot ( arccot ( 0 ) − arccot ( 1 ) + arccot ( 5 ) − arccot ( 55 ) + arccot ( 14187 ) − ⋯ ) {\displaystyle \ln 2=\cot({\operatorname {arccot}(0)-\operatorname {arccot}(1)+\operatorname {arccot}(5)-\operatorname {arccot}(55)+\operatorname {arccot}(14187)-\cdots })} Développement en fraction continue simple :
ln 2 = [ 0 ; 1 , 2 , 3 , 1 , 6 , 3 , 1 , 1 , 2 , 1 , 1 , 1 , 1 , 3 , 10 , 1 , 1 , 1 , 2 , 1 , 1 , 1 , 1 , 3 , 2 , 3 , 1 , . . . ] , {\displaystyle \ln 2=\left[0;1,2,3,1,6,3,1,1,2,1,1,1,1,3,10,1,1,1,2,1,1,1,1,3,2,3,1,...\right],} ce qui donne des approximations rationnelles, dont les premières sont 0, 1, 2/3, 7/10, 9/13 et 61/88.
Il existe aussi un développement en fraction continue généralisée [ 1]
ln 2 = [ 0 ; 1 , 2 , 3 , 1 , 5 , 2 3 , 7 , 1 2 , 9 , 2 5 , . . . , 2 k − 1 , 2 k , . . . ] {\displaystyle \ln 2=\left[0;1,2,3,1,5,{\tfrac {2}{3}},7,{\tfrac {1}{2}},9,{\tfrac {2}{5}},...,2k-1,{\frac {2}{k}},...\right]} également exprimable sous la forme ln 2 = 1 1 + 1 2 + 1 3 + 2 2 + 2 5 + 3 2 + 3 7 + 4 2 + ⋱ = 2 3 − 1 2 9 − 2 2 15 − 3 2 21 − ⋱ . {\displaystyle \ln 2={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {3}{2+{\cfrac {3}{7+{\cfrac {4}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}={\cfrac {2}{3-{\cfrac {1^{2}}{9-{\cfrac {2^{2}}{15-{\cfrac {3^{2}}{21-\ddots }}}}}}}}.} Décimales connues Ci-dessous est présenté un tableau des enregistrements récents pour le calcul des décimales de ln 2 . Depuis décembre 2018, il a été calculé plus de décimales que pour tout autre logarithme népérien[ 2] , [ 3]
Date Nom Nombre de décimales 7 janvier 2009 A. Yee et R. Chan 15 500 000 000 4 février 2009 A. Yee et R. Chan 31 026 000 000 21 février 2011 Alexandre Yee 50 000 000 050 14 mai 2011 Shigeru Kondo 100 000 000 000 28 février 2014 Shigeru Kondo 200 000 000 050 12 juillet 2015 Ron Watkins 250 000 000 000 30 janvier 2016 Ron Watkins 350 000 000 000 18 avril 2016 Ron Watkins 500 000 000 000 10 décembre 2018 Michael Kwok 600 000 000 000 26 avril 2019 Jacob Riffee 1 000 000 000 000 19 août 2020 Seungmin Kim[ 4] , [ 5] 1 200 000 000 100 9 septembre 2021 William Echols[ 6] , [ 7] 1 500 000 000 000
Articles connexes Règle des 72 , article dans lequel ln 2 figure en bonne placeDemi-vie , article dans lequel ln 2 figure en bonne placeNotes et références (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Natural logarithm of 2 » (voir la liste des auteurs) . ↑ Borwein, Crandall et Free, « On the Ramanujan AGM Fraction, I: The Real-Parameter Case », Exper. Math. , vol. 13, 2004 , p. 278–280 (DOI 10.1080/10586458.2004.10504540 , S2CID 17758274 , lire en ligne) ↑ « y-cruncher », numberworld.org (consulté le 10 décembre 2018 ) ↑ « Natural log of 2 », numberworld.org (consulté le 10 décembre 2018 ) .↑ « Records set by y-cruncher » [archive du 15 septembre 2020 ] (consulté le 15 septembre 2020 ) ↑ « Natural logarithm of 2 (Log(2)) world record by Seungmin Kim », 19 août 2020 (consulté le 15 septembre 2020 ) .↑ « Records set by y-cruncher » (consulté le 26 octobre 2021 ) .↑ « Natural Log of 2 - William Echols » (consulté le 26 octobre 2021 ) . Bibliographie (en) Richard P. Brent , « Fast multiple-precision evaluation of elementary functions », Journal of the ACM vol. 23, no 2, 1976 , p. 242-251 (DOI 10.1145/321941.321944 , MR 0395314 , S2CID 6761843 ) (en) Horace S. Uhler , « Recalculation and extension of the modulus and of the logarithms of 2, 3, 5, 7 and 17 », Proc. Natl. Acad. Sci. USA vol. 26, no 3, 1940 , p. 205-212 (PMID 16588339 , PMCID 1078033 , DOI 10.1073/pnas.26.3.205 , Bibcode 1940PNAS...26..205U , MR 0001523 ) (en) Dura W. Sweeney , « On the computation of Euler's constant », Mathematics of Computation vol. 17, no 82, 1963 , p. 170-178 (DOI 10.1090/S0025-5718-1963-0160308-X , MR 0160308 ) (en) Marc Chamberland , « Binary BBP-formulae for logarithms and generalized Gaussian–Mersenne primes », Journal of Integer Sequences vol. 6, 2003 , p. 03.3.7 (Bibcode 2003JIntS...6...37C , MR 2046407 , lire en ligne [archive du 6 juin 2011 ] , consulté le 29 avril 2010 ) (en) Boris Gourévitch et Jesús Guillera Goyanes , « Construction of binomial sums for π {\displaystyle \pi } », Applied Math. E-Notes vol. 7, 2007 , p. 237-246 (MR 2346048 , lire en ligne) (en) Qiang Wu, « On the linear independence measure of logarithms of rational numbers », Mathematics of Computation vol. 72, no 242, 2003 , p. 901-911 (DOI 10.1090/S0025-5718-02-01442-4 ) Portail des mathématiques 
A007524 ) : 
A020862 ).
![{\displaystyle \int _{0}^{x}\ln(1+t)\mathrm {d} t={\bigl [}(1+t)\ln(1+t){\bigr ]}_{0}^{x}-\int _{0}^{x}{\frac {1+t}{1+t}}\mathrm {d} t=(1+x)\ln(1+x)-x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66c20f8a353ef7dbcf9d23f02a5b9799feb63748)
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{2N+2}{\frac {1}{n}}-\sum _{n=1}^{N+1}{\frac {1}{n}}={\bigl [}\ln(2N+2)+\gamma +o(1){\bigr ]}-{\bigl [}\ln(N+1)+\gamma +o(1){\bigr ]}=\ln \left({\frac {2N+2}{N+1}}\right)+o(1)=\ln 2+o(1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8073fa966dadf008df1c8a81a72da71768e28cb2)
![{\displaystyle x\in \left]-1,1\right[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52ffe3c8296dd672d647d7f165624c41dc9bb38b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}I&=-\left[\ln(\alpha -y)\right]_{0}^{1}=\ln \left({\frac {\alpha }{\alpha -1}}\right)=\ln(1+\mathrm {i} )=\ln({\sqrt {2}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi /4})={\frac {\ln 2}{2}}+\mathrm {i} {\frac {\pi }{4}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e0166b1ab8fcfa23a3aceb512237a196df4fa7a)
![{\displaystyle I_{1}=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{1+x}}={\bigl [}\ln(1+x){\bigr ]}_{0}^{1}=\ln 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/812444eef043db2c17ec6e4bb24def5ab32554f3)
![{\displaystyle I_{2}=\int _{0}^{+\infty }2^{-x}\mathrm {d} x=\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-x\ln 2}\mathrm {d} x=\left[{\frac {\mathrm {e} ^{-x\ln 2}}{\ln 2}}\right]_{0}^{+\infty }={\frac {1}{\ln 2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65171073b12a85e251ed66fef8b3d72ed1bf5d88)
![{\displaystyle I_{3}=\int _{0}^{\frac {\pi }{3}}\tan x\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\frac {\pi }{3}}{\frac {\sin x}{\cos x}}\,\mathrm {d} x={\Bigl [}-\ln(\cos x){\Bigr ]}_{0}^{\frac {\pi }{3}}=\ln(\cos 0)-\ln \left(\cos {\frac {\pi }{3}}\right)=-\ln \left({\frac {1}{2}}\right)=\ln 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be711821cadf851298d4fb714003f46c71e01e81)
![{\displaystyle \ln 2=\left[0;1,2,3,1,6,3,1,1,2,1,1,1,1,3,10,1,1,1,2,1,1,1,1,3,2,3,1,...\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd7e2f559298c34a72a587e99bbc30740073a82b)
![{\displaystyle \ln 2=\left[0;1,2,3,1,5,{\tfrac {2}{3}},7,{\tfrac {1}{2}},9,{\tfrac {2}{5}},...,2k-1,{\frac {2}{k}},...\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81cd30af8050ce0bde521ec3ff78833704ba286a)
Portail des mathématiques 
