La fraction continue de Rogers-Ramanujan est une fraction continue généralisée découverte par Leonard James Rogers (en) en 1894 et indépendamment par Srinivasa Ramanujan vers 1910, qui est étroitement reliée aux identités de Rogers-Ramanujan ; il est possible d'en donner une forme explicite pour de nombreuses valeurs de son argument.
Représentation par coloration de régions des réduites A 400 ( q ) / B 400 ( q ) {\displaystyle A_{400}(q)/B_{400}(q)} q − 1 / 5 R ( q ) {\displaystyle q^{-1/5}R(q)} R ( q ) {\displaystyle R(q)} Définition Étant données les fonctions G (q ) et H (q ) apparaissant dans les identités de Rogers-Ramanujan ,
G ( q ) = ∑ n = 0 ∞ q n 2 ( 1 − q ) ( 1 − q 2 ) ⋯ ( 1 − q n ) = ∑ n = 0 ∞ q n 2 ( q ; q ) n = 1 ( q ; q 5 ) ∞ ( q 4 ; q 5 ) ∞ = ∏ n = 1 ∞ 1 ( 1 − q 5 n − 1 ) ( 1 − q 5 n − 4 ) = q j 60 2 F 1 ( − 1 60 , 19 60 ; 4 5 ; 1728 j ) = q ( j − 1728 ) 60 2 F 1 ( − 1 60 , 29 60 ; 4 5 ; − 1728 j − 1728 ) = 1 + q + q 2 + q 3 + 2 q 4 + 2 q 5 + 3 q 6 + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}G(q)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}}}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{n})}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{(q;q^{5})_{\infty }(q^{4};q^{5})_{\infty }}}\\&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(1-q^{5n-1})(1-q^{5n-4})}}\\&={\sqrt[{60}]{qj}}\,_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {1}{60}},{\tfrac {19}{60}};{\tfrac {4}{5}};{\tfrac {1728}{j}}\right)\\&={\sqrt[{60}]{q\left(j-1728\right)}}\,_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {1}{60}},{\tfrac {29}{60}};{\tfrac {4}{5}};-{\tfrac {1728}{j-1728}}\right)\\&=1+q+q^{2}+q^{3}+2q^{4}+2q^{5}+3q^{6}+\cdots \end{aligned}}} et
H ( q ) = ∑ n = 0 ∞ q n 2 + n ( 1 − q ) ( 1 − q 2 ) ⋯ ( 1 − q n ) = ∑ n = 0 ∞ q n 2 + n ( q ; q ) n = 1 ( q 2 ; q 5 ) ∞ ( q 3 ; q 5 ) ∞ = ∏ n = 1 ∞ 1 ( 1 − q 5 n − 2 ) ( 1 − q 5 n − 3 ) = 1 q 11 j 11 60 2 F 1 ( 11 60 , 31 60 ; 6 5 ; 1728 j ) = 1 q 11 ( j − 1728 ) 11 60 2 F 1 ( 11 60 , 41 60 ; 6 5 ; − 1728 j − 1728 ) = 1 + q 2 + q 3 + q 4 + q 5 + 2 q 6 + 2 q 7 + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}H(q)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}+n}}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{n})}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}+n}}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{(q^{2};q^{5})_{\infty }(q^{3};q^{5})_{\infty }}}\\&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(1-q^{5n-2})(1-q^{5n-3})}}\\&={\frac {1}{\sqrt[{60}]{q^{11}j^{11}}}}\,_{2}F_{1}\left({\tfrac {11}{60}},{\tfrac {31}{60}};{\tfrac {6}{5}};{\tfrac {1728}{j}}\right)\\&={\frac {1}{\sqrt[{60}]{q^{11}\left(j-1728\right)^{11}}}}\,_{2}F_{1}\left({\tfrac {11}{60}},{\tfrac {41}{60}};{\tfrac {6}{5}};-{\tfrac {1728}{j-1728}}\right)\\&=1+q^{2}+q^{3}+q^{4}+q^{5}+2q^{6}+2q^{7}+\cdots \end{aligned}}} où ( a ; q ) ∞ {\displaystyle (a;q)_{\infty }} j est le j-invariant, et 2 F1 est la fonction hypergéométrique (les coefficients des développements en séries entières forment les suites de l'OEIS
R ( q ) = q 11 60 H ( q ) q − 1 60 G ( q ) = q 1 5 ∏ n = 1 ∞ ( 1 − q 5 n − 1 ) ( 1 − q 5 n − 4 ) ( 1 − q 5 n − 2 ) ( 1 − q 5 n − 3 ) = q 1 / 5 1 + q 1 + q 2 1 + q 3 1 + ⋱ {\displaystyle {\begin{aligned}R(q)&={\frac {q^{\frac {11}{60}}H(q)}{q^{-{\frac {1}{60}}}G(q)}}=q^{\frac {1}{5}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(1-q^{5n-1})(1-q^{5n-4})}{(1-q^{5n-2})(1-q^{5n-3})}}\\&={\cfrac {q^{1/5}}{1+{\cfrac {q}{1+{\cfrac {q^{2}}{1+{\cfrac {q^{3}}{1+\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}} Fonctions modulaires Si q = e 2 π i τ {\displaystyle q=e^{2\pi {\rm {i}}\tau }} q − 1 60 G ( q ) {\displaystyle q^{-{\frac {1}{60}}}G(q)} q 11 60 H ( q ) {\displaystyle q^{\frac {11}{60}}H(q)} R ( q ) {\displaystyle R(q)} τ {\displaystyle \tau } τ {\displaystyle \tau } i p / q {\displaystyle i{\sqrt {p/q}}} nombres algébriques qui peuvent être calculés explicitement.
Exemples R ( e − 2 π ) = e − 2 π 5 1 + e − 2 π 1 + e − 4 π 1 + ⋱ = 5 + 5 2 − ϕ = ϕ + 2 − ϕ {\displaystyle R{\big (}e^{-2\pi }{\big )}={\cfrac {e^{-{\frac {2\pi }{5}}}}{1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+\ddots }}}}}}={{\sqrt {5+{\sqrt {5}} \over 2}}-\phi }={\sqrt {\phi +2}}-\phi } R ( e − 2 5 π ) = e − 2 π 5 1 + e − 2 π 5 1 + e − 4 π 5 1 + ⋱ = 5 1 + ( 5 3 / 4 ( ϕ − 1 ) 5 / 2 − 1 ) 1 / 5 − ϕ {\displaystyle R{\big (}e^{-2{\sqrt {5}}\pi }{\big )}={\cfrac {e^{-{\frac {2\pi }{\sqrt {5}}}}}{1+{\cfrac {e^{-2\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-4\pi {\sqrt {5}}}}{1+\ddots }}}}}}={\frac {\sqrt {5}}{1+{\big (}5^{3/4}(\phi -1)^{5/2}-1{\big )}^{1/5}}}-{\phi }} où ϕ = 1 + 5 2 {\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} [ 1]
Liens avec les formes modulaires R ( q ) {\displaystyle R(q)} fonction êta de Dedekind , une forme modulaire de poids 1/2, car on a (en posant q = e 2 i π τ {\displaystyle q={\rm {e}}^{2{\rm {i}}\pi \tau }} [ 2]
1 R ( q ) − R ( q ) = η ( τ 5 ) η ( 5 τ ) + 1 {\displaystyle {\frac {1}{R(q)}}-R(q)={\frac {\eta ({\frac {\tau }{5}})}{\eta (5\tau )}}+1} 1 R 5 ( q ) − R 5 ( q ) = [ η ( τ ) η ( 5 τ ) ] 6 + 11 {\displaystyle {\frac {1}{R^{5}(q)}}-R^{5}(q)=\left[{\frac {\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}+11} Liens avec le j-invariant Parmi les nombreuses relations vérifiées par le j-invariant, on a
j ( τ ) = ( x 2 + 10 x + 5 ) 3 x {\displaystyle j(\tau )={\frac {(x^{2}+10x+5)^{3}}{x}}} où
x = [ 5 η ( 5 τ ) η ( τ ) ] 6 {\displaystyle x=\left[{\frac {{\sqrt {5}}\,\eta (5\tau )}{\eta (\tau )}}\right]^{6}} Éliminant le quotient, on peut exprimer j (τ ) en termes de r = R ( q ) {\displaystyle r=R(q)}
j ( τ ) = − ( r 20 − 228 r 15 + 494 r 10 + 228 r 5 + 1 ) 3 r 5 ( r 10 + 11 r 5 − 1 ) 5 j ( τ ) − 1728 = − ( r 30 + 522 r 25 − 10005 r 20 − 10005 r 10 − 522 r 5 + 1 ) 2 r 5 ( r 10 + 11 r 5 − 1 ) 5 {\displaystyle {\begin{aligned}&j(\tau )=-{\frac {(r^{20}-228r^{15}+494r^{10}+228r^{5}+1)^{3}}{r^{5}(r^{10}+11r^{5}-1)^{5}}}\\[6pt]&j(\tau )-1728=-{\frac {(r^{30}+522r^{25}-10005r^{20}-10005r^{10}-522r^{5}+1)^{2}}{r^{5}(r^{10}+11r^{5}-1)^{5}}}\end{aligned}}} où le numérateur et le dénominateur sont des invariants polynomiaux de l'icosaèdre . La relation modulaire entre R ( q ) {\displaystyle R(q)} R ( q 5 ) {\displaystyle R(q^{5})}
j ( 5 τ ) = − ( r 20 + 12 r 15 + 14 r 10 − 12 r 5 + 1 ) 3 r 25 ( r 10 + 11 r 5 − 1 ) {\displaystyle j(5\tau )=-{\frac {(r^{20}+12r^{15}+14r^{10}-12r^{5}+1)^{3}}{r^{25}(r^{10}+11r^{5}-1)}}} Soit z = r 5 − 1 r 5 {\displaystyle z=r^{5}-{\frac {1}{r^{5}}}}
j ( 5 τ ) = − ( z 2 + 12 z + 16 ) 3 z + 11 {\displaystyle j(5\tau )=-{\frac {\left(z^{2}+12z+16\right)^{3}}{z+11}}} où
z ∞ = − [ 5 η ( 25 τ ) η ( 5 τ ) ] 6 − 11 , z 0 = − [ η ( τ ) η ( 5 τ ) ] 6 − 11 , z 1 = [ η ( 5 τ + 2 5 ) η ( 5 τ ) ] 6 − 11 , z 2 = − [ η ( 5 τ + 4 5 ) η ( 5 τ ) ] 6 − 11 , z 3 = [ η ( 5 τ + 6 5 ) η ( 5 τ ) ] 6 − 11 , z 4 = − [ η ( 5 τ + 8 5 ) η ( 5 τ ) ] 6 − 11 {\displaystyle {\begin{aligned}&z_{\infty }=-\left[{\frac {{\sqrt {5}}\,\eta (25\tau )}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}-11,\ z_{0}=-\left[{\frac {\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}-11,\ z_{1}=\left[{\frac {\eta ({\frac {5\tau +2}{5}})}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}-11,\\[6pt]&z_{2}=-\left[{\frac {\eta ({\frac {5\tau +4}{5}})}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}-11,\ z_{3}=\left[{\frac {\eta ({\frac {5\tau +6}{5}})}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}-11,\ z_{4}=-\left[{\frac {\eta ({\frac {5\tau +8}{5}})}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}-11\end{aligned}}} ce qui est le j-invariant de la courbe elliptique y 2 + ( 1 + r 5 ) x y + r 5 y = x 3 + r 5 x 2 {\displaystyle y^{2}+(1+r^{5})xy+r^{5}y=x^{3}+r^{5}x^{2}} courbe modulaire X 1 ( 5 ) {\displaystyle X_{1}(5)}
Équation fonctionnelle On pose désormais systématiquement r ( τ ) = R ( q ) {\displaystyle r(\tau )=R(q)} q = e2πiτ . Là où d'autres fonctions modulaires, par exemple le j-invariant, vérifient :
j ( − 1 τ ) = j ( τ ) {\displaystyle j(-{\tfrac {1}{\tau }})=j(\tau )} et qu'on a pour la fonction êta de Dedekind :
η ( − 1 τ ) = − i τ η ( τ ) {\displaystyle \eta (-{\tfrac {1}{\tau }})={\sqrt {-i\tau }}\,\eta (\tau )} l'équation fonctionnelle de la fraction continue de Rogers–Ramanujan met en jeu[ 3] nombre d'or ϕ = 1 + 5 2 {\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
r ( − 1 τ ) = 1 − ϕ r ( τ ) ϕ + r ( τ ) {\displaystyle r(-{\tfrac {1}{\tau }})={\frac {1-\phi \,r(\tau )}{\phi +r(\tau )}}} On a d'autre part r ( 7 + i 10 ) = i {\displaystyle r({\tfrac {7+i}{10}})=i}
Équations modulaires Il y a des relations modulaires entre R ( q ) {\displaystyle R(q)} R ( q n ) {\displaystyle R(q^{n})} n [ 4]
Soit u = R ( q ) {\displaystyle u=R(q)} v = R ( q n ) {\displaystyle v=R(q^{n})}
Pour n = 2 {\displaystyle n=2} v − u 2 = ( v + u 2 ) u v 2 . {\displaystyle v-u^{2}=(v+u^{2})uv^{2}.}
n = 3 {\displaystyle n=3} ( v − u 3 ) ( 1 + u v 3 ) = 3 u 2 v 2 . {\displaystyle (v-u^{3})(1+uv^{3})=3u^{2}v^{2}.}
n = 5 {\displaystyle n=5} ( v 4 − 3 v 3 + 4 v 2 − 2 v + 1 ) v = ( v 4 + 2 v 3 + 4 v 2 + 3 v + 1 ) u 5 . {\displaystyle (v^{4}-3v^{3}+4v^{2}-2v+1)v=(v^{4}+2v^{3}+4v^{2}+3v+1)u^{5}.}
n = 11 {\displaystyle n=11} u v ( u 10 + 11 u 5 − 1 ) ( v 10 + 11 v 5 − 1 ) = ( u − v ) 12 . {\displaystyle uv(u^{10}+11u^{5}-1)(v^{10}+11v^{5}-1)=(u-v)^{12}.}
n = 5 {\displaystyle n=5} n = 11 {\displaystyle n=11}
v 10 + 11 v 5 − 1 = ( v 2 + v − 1 ) ( v 4 − 3 v 3 + 4 v 2 − 2 v + 1 ) ( v 4 + 2 v 3 + 4 v 2 + 3 v + 1 ) . {\displaystyle v^{10}+11v^{5}-1=(v^{2}+v-1)(v^{4}-3v^{3}+4v^{2}-2v+1)(v^{4}+2v^{3}+4v^{2}+3v+1).} Autres résultats Ramanujan a découvert beaucoup d'autres propriétés intéressantes de R (q )[ 5] u = R ( q a ) {\displaystyle u=R(q^{a})} v = R ( q b ) {\displaystyle v=R(q^{b})} ϕ {\displaystyle \phi } nombre d'or ,
si a b = 4 π 2 {\displaystyle ab=4\pi ^{2}} ( u + ϕ ) ( v + ϕ ) = 5 ϕ . {\displaystyle (u+\phi )(v+\phi )={\sqrt {5}}\,\phi .} si 5 a b = 4 π 2 {\displaystyle 5ab=4\pi ^{2}} ( u 5 + ϕ 5 ) ( v 5 + ϕ 5 ) = 5 5 ϕ 5 . {\displaystyle (u^{5}+\phi ^{5})(v^{5}+\phi ^{5})=5{\sqrt {5}}\,\phi ^{5}.} Les puissances de R (q ) vérifient également des relations inattendues. Ainsi,
R 3 ( q ) = α β {\displaystyle R^{3}(q)={\frac {\alpha }{\beta }}} où
α = ∑ n = 0 ∞ q 2 n 1 − q 5 n + 2 − ∑ n = 0 ∞ q 3 n + 1 1 − q 5 n + 3 {\displaystyle \alpha =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{2n}}{1-q^{5n+2}}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{3n+1}}{1-q^{5n+3}}}} β = ∑ n = 0 ∞ q n 1 − q 5 n + 1 − ∑ n = 0 ∞ q 4 n + 3 1 − q 5 n + 4 {\displaystyle \beta =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{5n+1}}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{4n+3}}{1-q^{5n+4}}}} Posant w = R ( q ) R 2 ( q 2 ) {\displaystyle w=R(q)R^{2}(q^{2})}
R 5 ( q ) = w ( 1 − w 1 + w ) 2 , R 5 ( q 2 ) = w 2 ( 1 + w 1 − w ) {\displaystyle R^{5}(q)=w\left({\frac {1-w}{1+w}}\right)^{2},\;\;R^{5}(q^{2})=w^{2}\left({\frac {1+w}{1-w}}\right)} Notes et références (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé
« Rogers–Ramanujan continued fraction » (voir la liste des auteurs) .
↑ (en) Godfrey Harold Hardy , « The Indian Mathematician Ramanujan The American Mathematical Monthly vol. 44, no 3, mars 1937 , p. 137-155 (lire en ligne) ↑ (en) Duke, W. "Continued Fractions and Modular Functions", http://www.math.ucla.edu/~wdduke/preprints/bams4.pdf↑ (en) Duke, W. "Continued Fractions and Modular Functions" (p.9)↑ (en) Berndt, B. et al. "The Rogers–Ramanujan Continued Fraction" [lire en ligne] .↑ (en) Berndt, B. et al. "The Rogers–Ramanujan Continued Fraction" Voir aussi Bibliographie (en) L. J. Rogers , « Second Memoir on the Expansion of certain Infinite Products », Proc. London Math. Soc. vol. s1-25, no 1, 1894 , p. 318–343 (DOI 10.1112/plms/s1-25.1.318 ) (en) B. C. Berndt , H. H. Chan , S. S. Huang , S. Y. Kang , J. Sohn et S. H. Son , « The Rogers–Ramanujan continued fraction », Journal of Computational and Applied Mathematics vol. 105, 1999 , p. 9 (DOI 10.1016/S0377-0427(99)00033-3 , lire en ligne) Liens externes Portail de l'analyse 
![{\displaystyle {\begin{aligned}G(q)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}}}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{n})}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{(q;q^{5})_{\infty }(q^{4};q^{5})_{\infty }}}\\&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(1-q^{5n-1})(1-q^{5n-4})}}\\&={\sqrt[{60}]{qj}}\,_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {1}{60}},{\tfrac {19}{60}};{\tfrac {4}{5}};{\tfrac {1728}{j}}\right)\\&={\sqrt[{60}]{q\left(j-1728\right)}}\,_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {1}{60}},{\tfrac {29}{60}};{\tfrac {4}{5}};-{\tfrac {1728}{j-1728}}\right)\\&=1+q+q^{2}+q^{3}+2q^{4}+2q^{5}+3q^{6}+\cdots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e74f98d4b21f51c75b6da28b9eff82591f1b1726)
![{\displaystyle {\begin{aligned}H(q)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}+n}}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{n})}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}+n}}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{(q^{2};q^{5})_{\infty }(q^{3};q^{5})_{\infty }}}\\&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(1-q^{5n-2})(1-q^{5n-3})}}\\&={\frac {1}{\sqrt[{60}]{q^{11}j^{11}}}}\,_{2}F_{1}\left({\tfrac {11}{60}},{\tfrac {31}{60}};{\tfrac {6}{5}};{\tfrac {1728}{j}}\right)\\&={\frac {1}{\sqrt[{60}]{q^{11}\left(j-1728\right)^{11}}}}\,_{2}F_{1}\left({\tfrac {11}{60}},{\tfrac {41}{60}};{\tfrac {6}{5}};-{\tfrac {1728}{j-1728}}\right)\\&=1+q^{2}+q^{3}+q^{4}+q^{5}+2q^{6}+2q^{7}+\cdots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed5aa7dbd4c48804f6de43f7bdbebc2d8ceadfa9)
A003114 et 
![{\displaystyle {\frac {1}{R^{5}(q)}}-R^{5}(q)=\left[{\frac {\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}+11}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bd161c8522f2d0446ee11792d6f37d8f8aeb7d5)
![{\displaystyle x=\left[{\frac {{\sqrt {5}}\,\eta (5\tau )}{\eta (\tau )}}\right]^{6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595729ac7ecb75f7ab2f3bdf7f3189dc3f74c279)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&j(\tau )=-{\frac {(r^{20}-228r^{15}+494r^{10}+228r^{5}+1)^{3}}{r^{5}(r^{10}+11r^{5}-1)^{5}}}\\[6pt]&j(\tau )-1728=-{\frac {(r^{30}+522r^{25}-10005r^{20}-10005r^{10}-522r^{5}+1)^{2}}{r^{5}(r^{10}+11r^{5}-1)^{5}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/883827756d7f47131c78695dfb009752642db072)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&z_{\infty }=-\left[{\frac {{\sqrt {5}}\,\eta (25\tau )}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}-11,\ z_{0}=-\left[{\frac {\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}-11,\ z_{1}=\left[{\frac {\eta ({\frac {5\tau +2}{5}})}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}-11,\\[6pt]&z_{2}=-\left[{\frac {\eta ({\frac {5\tau +4}{5}})}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}-11,\ z_{3}=\left[{\frac {\eta ({\frac {5\tau +6}{5}})}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}-11,\ z_{4}=-\left[{\frac {\eta ({\frac {5\tau +8}{5}})}{\eta (5\tau )}}\right]^{6}-11\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfc22fc990829510a6e4dc7225adb6abe4ad177f)
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