Exponentielle complexe

Cet article court présente un sujet plus développé dans : Fonction exponentielle.

L'exponentielle complexe est une fonction qui prolonge la fonction exponentielle réelle de base e à la variable complexe et possède les mêmes propriétés essentielles que cette dernière.

Pour tout nombre complexe z, la série entière

∑ n ⩾ 0 z n n ! {\displaystyle \sum _{n\geqslant 0}{z^{n} \over n!}}

est convergente. Sa somme est l'exponentielle de z, notée ez ou exp(z).

Propriétés

On peut proposer une définition de Pi s'appuyant sur l'exponentielle complexe[1].

Le module et l'argument de ex + iy (pour x et y réels) sont respectivement ex et y mod 2π.

Les développements limités (ou développements en série des fonctions) de l'exponentielle, du cosinus et du sinus permettent de trouver que :

∀ y ∈ R ,   exp ⁡ ( i y ) = cos ⁡ ( y ) + i sin ⁡ ( y ) {\displaystyle \forall y\in \mathbb {R} ,\ \exp(\mathrm {i} y)=\cos(y)+\mathrm {i} \,\sin(y)}

dont on peut déduire :

∀ z = x + i y ∈ C ,   exp ⁡ ( z ) = exp ⁡ ( x + i y ) = exp ⁡ ( x ) exp ⁡ ( i y ) = exp ⁡ ( x ) [ cos ⁡ ( y ) + i sin ⁡ ( y ) ] {\displaystyle \forall z=x+\mathrm {i} y\in \mathbb {C} ,\ \exp(z)=\exp(x+\mathrm {i} y)=\exp(x)\exp(\mathrm {i} y)=\exp(x)[\cos(y)+\mathrm {i} \,\sin(y)]}

Références

  1. ↑ Henri Cartan, Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes, Paris, Hermann (éditions), , p. 31

Liens externes

  • (en) Eric W. Weisstein, « Exponential Function », sur MathWorld
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  • icône décorative Arithmétique et théorie des nombres