Ensemble Gδ

En mathématiques et, en particulier, en topologie, un ensemble G_δ (lire « G delta ») est une intersection dénombrable d'ensembles ouverts.

La notation introduite par Felix Hausdorff vient de l'allemand, le G désignant un ouvert (Gebiet) et le δ désignant une intersection (Durchschnitt)^[1]. La notation G_δ est équivalente à celle de ${\displaystyle \Pi _{2}^{0}}$ utilisée dans la hiérarchie de Borel.

Propriétés

• L'intersection dénombrable d'ensembles G_δ est un ensemble G_δ et l'union finie d'ensembles G_δ est un ensemble G_δ.

• Le complémentaire d'un ensemble G_δ est un ensemble F_σ^[1].

Exemples

• Chaque ensemble ouvert est un ensemble G_δ.

• L'ensemble ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$ des irrationnels est un ensemble G_δ dans l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {R} }$ des réels muni de sa topologie usuelle. En effet, l'ensemble des irrationnels peut s'écrire comme l'intersection dénombrable des ouverts ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{r\}}$, où ${\displaystyle r}$ est un rationnel. En revanche, l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ des rationnels n'est pas un ensemble G_δ dans l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {R} }$ des réels muni de sa topologie usuelle. En effet, si c'était le cas, tous les ouverts dont ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ est l'intersection seraient denses dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (car ils contiennent tous ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ qui est dense dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$). ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$ est lui-même intersection dénombrable d'ouverts denses, donc l'intersection vide ${\displaystyle (\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )\cap \mathbb {Q} }$ serait aussi intersection dénombrable d'ouverts denses. On obtiendrait une contradiction avec la propriété de Baire de ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• Dans un espace métrisable, chaque ensemble fermé est un ensemble G_δ^[2].

Voir aussi

• Ensemble F_σ — la notion duale d'un ensemble G_δ
• Hiérarchie de Borel
• P-espace (en), tout espace au sens de Gillman–Henriksen ayant la propriété que tout ensemble G_δ est ouvert

Références

• Portail des mathématiques