Distance d'un point à une droite

La distance entre le point A et la droite (d) est la distance AAh

En géométrie euclidienne, la distance d'un point à une droite est la plus courte distance séparant ce point et un point courant de la droite. Le théorème de Pythagore permet d'affirmer que la distance du point A à la droite (d) correspond à la distance séparant A de son projeté orthogonal Ah sur la droite (d). On peut ainsi écrire :

d ( A , ( d ) ) = d ( A , A h ) {\displaystyle d(\mathrm {A} ,(d))=d(\mathrm {A} ,\mathrm {A} _{h})}

Dans le plan

Si le plan est muni d'un repère orthonormal, si la droite (d) a pour équation ax + by + c = 0 et si le point A a pour coordonnées (xA ; yA), alors la distance entre A et (d) est donnée par la formule

d ( A , ( d ) ) = A A h = | a x A + b y A + c | a 2 + b 2 {\displaystyle d(\mathrm {A} ,(d))=\mathrm {AA} _{h}={\frac {|ax_{A}+by_{A}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}

En effet, si M(x, y ) est un point quelconque de la droite (d), et si on note n → {\displaystyle {\vec {n}}} le vecteur normal à la droite (d) de composantes (a ; b ), alors la valeur absolue du produit scalaire des vecteurs A M → {\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {AM} }}} et n → {\displaystyle {\vec {n}}} est donnée par les deux expressions :

| A M → ⋅ n → | = | a ( x − x A ) + b ( y − y A ) | = | a x A + b y A + c | {\displaystyle |{\overrightarrow {\mathrm {AM} }}\cdot {\vec {n}}|=|a(x-x_{\mathrm {A} })+b(y-y_{\mathrm {A} })|=|ax_{\mathrm {A} }+by_{\mathrm {A} }+c|} ( ax + by = - c car M est un point de (d))
| A M → ⋅ n → | = A A h × | | n → | | = A A h × a 2 + b 2 {\displaystyle |{\overrightarrow {\mathrm {AM} }}\cdot {\vec {n}}|=\mathrm {AA} _{h}\times ||{\vec {n}}||=\mathrm {AA} _{h}\times {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}} .

En particulier :

  • si la droite a pour équation y = mx + p alors d ( A , ( d ) ) = | y A − m x A − p | 1 + m 2 {\displaystyle d(\mathrm {A} ,(d))={\frac {|y_{\mathrm {A} }-mx_{\mathrm {A} }-p|}{\sqrt {1+m^{2}}}}}  ;
  • si la droite a pour équation x = a alors d ( A , ( d ) ) = | x A − a | {\displaystyle d(\mathrm {A} ,(d))=|x_{\mathrm {A} }-a|}
  • si la droite est donnée par son équation normale: x cos ⁡ θ + y sin ⁡ θ − p = 0 {\displaystyle x\cos \theta +y\sin \theta -p=0} alors d ( A , ( d ) ) = | x A cos ⁡ θ + y A sin ⁡ θ − p | {\displaystyle d(\mathrm {A} ,(d))=\left\vert x_{A}\cos \theta +y_{A}\sin \theta -p\right\vert } (où, bien entendu cos ⁡ θ = a a 2 + b 2 {\displaystyle \cos \theta ={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}} et sin ⁡ θ = b a 2 + b 2 {\displaystyle \sin \theta ={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}} ). La distance d'un point à une droite est tout simplement la valeur absolue de ce polynôme pour les coordonnées du point A. Dire qu'un point appartient à une droite (d) ssi ses coordonnées en vérifient l'équation, cela revient à affirmer que sa distance à (d) est nulle.

Remarque : Si l'on considère la distance algébrique (id. si elle est comptée avec son signe), le polynôme P ( x ; y ) = cos ⁡ θ x + sin ⁡ θ y − p {\displaystyle P(x;y)=\cos \theta \,x+\sin \theta \,y-p} (avec p > 0 {\displaystyle p>0} ) peut prendre des valeurs positives, négatives ou nulles selon que le point est au-delà[1], en deçà ou sur la droite considérée. Le signe de cette distance algébrique divise le plan en trois domaines, deux demi-plans et une droite, un peu à la manière de la puissance d'un point par rapport à un cercle qui divise le cercle en trois zones (l'intérieur du cercle, le cercle et l'extérieur du cercle).

Dans l'espace

Si l'espace est muni d'un repère orthonormé, si la droite (d) passe par le point B et a pour vecteur directeur u → {\displaystyle {\vec {u}}} , la distance entre le point A et la droite (d) est donnée par la formule

d ( A , ( d ) ) = ‖ B A → ∧ u → ‖ ‖ u → ‖ {\displaystyle d(\mathrm {A} ,(d))={\frac {\left\|{\overrightarrow {\mathrm {BA} }}\wedge {\vec {u}}\right\|}{\|{\vec {u}}\|}}}

où B A → ∧ u → {\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {BA} }}\wedge {\vec {u}}} représente le produit vectoriel des vecteurs B A → {\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {BA} }}} et u → {\displaystyle {\vec {u}}} et où ‖ u → ‖ {\displaystyle \|{\vec {u}}\|} représente la norme du vecteur u → {\displaystyle {\vec {u}}} .

En effet, si l'on note C le point de (d) tel que B C → = u → {\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {BC} }}={\vec {u}}} alors l'aire du triangle ABC est donnée par les deux expressions

A A B C = 1 2 ‖ B A → ∧ B C → ‖ {\displaystyle \mathrm {A} _{\mathrm {ABC} }={\frac {1}{2}}\left\|{\overrightarrow {\mathrm {BA} }}\wedge {\overrightarrow {\mathrm {BC} }}\right\|}
A A B C = 1 2 B C × A A h {\displaystyle \mathrm {A} _{\mathrm {ABC} }={\frac {1}{2}}\mathrm {BC} \times \mathrm {AA} _{h}} .

Cette distance est supérieure ou égale à toute distance séparant le point A d'un plan contenant la droite (d). Si la droite (d)est définie comme l'intersection de deux plans perpendiculaires et si l'on note d1 et d2 les distances du point A à ces deux plans, on a :

d ( A , ( d ) ) = d 1 2 + d 2 2 {\displaystyle d(\mathrm {A} ,(d))={\sqrt {{d_{1}}^{2}+{d_{2}}^{2}}}} .

En dimension n

Si l'espace est muni d'un repère orthonormal, si la droite (d) passe par le point B et a pour vecteur directeur u → {\displaystyle {\vec {u}}} . Tout point M ∈ ( d ) {\displaystyle M\in (d)} peut être écrit ainsi

M = B + t u → {\displaystyle M=B+t{\vec {u}}}

La distance entre le point A et la droite (d) se trouve en calculant la distance AM avec M le point de (d) le plus proche de A. Cela revient à trouver t

t = B A → ⋅ u → ‖ u → ‖ 2 {\displaystyle t={\frac {{\overrightarrow {BA}}\cdot {\vec {u}}}{\|{\vec {u}}\|^{2}}}}

où B A → ⋅ u → {\displaystyle {\overrightarrow {BA}}\cdot {\vec {u}}} représente le produit scalaire des vecteurs B A → {\displaystyle {\overrightarrow {BA}}} et u → {\displaystyle {\vec {u}}} . On a donc

d ( A , ( d ) ) = ‖ A − B − t u → ‖ = ‖ B A → − B A → ⋅ u → ‖ u → ‖ 2 u → ‖ {\displaystyle d(A,(d))=\|A-B-t{\vec {u}}\|=\left\|{\overrightarrow {BA}}-{\frac {{\overrightarrow {BA}}\cdot {\vec {u}}}{\|{\vec {u}}\|^{2}}}{\vec {u}}\right\|}
Démonstration

Cela revient à trouver M {\displaystyle M} qui minimise A M {\displaystyle AM} . Minimiser A M 2 {\displaystyle AM^{2}} revient au même (la fonction carrée est strictement croissante du côté positif).

A M 2 = ( A B → + t u → ) ⋅ ( A B → + t u → ) {\displaystyle AM^{2}=({\overrightarrow {AB}}+t{\vec {u}})\cdot ({\overrightarrow {AB}}+t{\vec {u}})}

On cherche d ( A M 2 ) d t = 0 {\displaystyle {\frac {d(AM^{2})}{dt}}=0} , pour trouver ce minimum.

d ( A M 2 ) d t = 0 ⟺ 2 u → ⋅ ( A B → + t u → ) = 0 ⟺ 2 u → ⋅ A B → + 2 t u → ⋅ u → = 0 ⟺ 2 u → ⋅ A B → + 2 t ‖ u → ‖ 2 = 0 ⟺ t = B A → ⋅ u → ‖ u → ‖ 2 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d(AM^{2})}{dt}}=0&\Longleftrightarrow 2{\vec {u}}\cdot ({\overrightarrow {AB}}+t{\vec {u}})=0\\&\Longleftrightarrow 2{\vec {u}}\cdot {\overrightarrow {AB}}+2t{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}=0\\&\Longleftrightarrow 2{\vec {u}}\cdot {\overrightarrow {AB}}+2t\|{\vec {u}}\|^{2}=0\\&\Longleftrightarrow t={\frac {{\overrightarrow {BA}}\cdot {\vec {u}}}{\|{\vec {u}}\|^{2}}}\end{aligned}}}

Voir aussi

Notes et références

  1. ↑ Rem: le point est dit «au-delà» de la droite s'il n'est pas dans le même demi-plan que l'origine par rapport à cette droite.
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