Approximant de Padé de la fonction exponentielle

Soit n l'entier p + q.

• Pour tout polynôme f de degré n :${\displaystyle \int \exp(tx)f(x){\rm {d}}x=\exp(tx)\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {f^{(k)}(x)}{t^{k+1}}}.}$La vérification est immédiate, en dérivant par rapport à x le membre de droite.
• Soient a et b deux réels et f, α et β les polynômes définis par${\displaystyle f(x)=(x-a)^{q}(x-b)^{p},\quad \alpha (t)=\sum _{i=0}^{p}(-1)^{i}f^{(n-i)}(a)t^{i},\quad \beta (t)=\sum _{j=0}^{q}(-1)^{j}f^{(n-j)}(b)t^{j}.}$
  • L'égalité suivante est vérifiée :${\displaystyle \beta (t)\exp(bt)-\alpha (t)\exp(at)=(-1)^{n}t^{n+1}\int _{a}^{b}\exp(tx)f(x){\rm {d}}x.}$En effet, puisqu'ici f^(k)(a) est nul si k est strictement inférieur à q et f^(k)(b) est nul si k est strictement inférieur à p, l'expression précédente, appliquée entre a et b, montre que${\displaystyle {\begin{aligned}t^{n+1}\int _{a}^{b}\exp(tx)f(x){\rm {d}}x&=\exp(tb)\sum _{k=p}^{n}(-1)^{k}f^{(k)}(b)t^{n-k}-\exp(ta)\sum _{k=q}^{n}(-1)^{k}f^{(k)}(a)t^{n-k}\\&=(-1)^{n}{\Big (}\exp(tb)\beta (t)-\exp(ta)\alpha (t){\Big )}.\end{aligned}}}$
  • « Les expressions explicites des coefficients de α et β se déduisent aisément des développements de f suivant les puissances, soit de x – a, soit de x – b^[3]. »
    Par exemple pour α :${\displaystyle f(x)=(x-a)^{q}\left((x-a)+(a-b)\right)^{p}=(x-a)^{q}\sum _{i=0}^{p}{p \choose i}(x-a)^{p-i}(a-b)^{i},}$si bien que${\displaystyle f^{(n-i)}(a)=(n-i)!{p \choose i}(a-b)^{i}\quad {\rm {et}}\quad \alpha (t)=\sum _{i=0}^{p}(n-i)!{p \choose i}(b-a)^{i}t^{i}.}$
• Si h_p,q et k_p,q sont les deux fonctions polynomiales suivantes alors le premier monôme non nul de la fonction entière k_p,qe^t – h_p,q est de degré p + q + 1 :${\displaystyle h_{p,q}(t)=\sum _{i=0}^{p}{\frac {(p+q-i)!p!}{(p+q)!(p-i)!i!}}t^{i}\quad {\text{et}}\quad k_{p,q}(t)=\sum _{j=0}^{q}(-1)^{j}{\frac {(p+q-j)!q!}{(p+q)!(q-j)!j!}}t^{j}.}$En effet, h_p,q et k_p,q sont les quotients par n! des expressions ci-dessus des polynômes α et β, pour a = 0 et b = 1. Pour ces valeurs de a et b, l'égalité précédente devient donc :${\displaystyle k_{p,q}(t)\exp(t)-h_{p,q}(t)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}t^{n+1}\int _{0}^{1}\exp(tx)f(x){\rm {d}}x}$or la fonction entière qui à t associe l'intégrale de 0 à 1 de x ↦ exp(tx)f(x) est non nulle en t = 0.

Une fois prouvée l'existence de la fraction réduite et déterminée son expression, il reste à démontrer son unicité. On le fait grâce à un lemme dont la démonstration est de même nature que celle montrant que le numérateur et dénominateur d'une fraction réduite sont premiers entre eux.

• Si (r, s) est égal à (p + 1, q) ou (p, q + 1) ou (p + 1, q + 1), alors h_p,qk_{r, s} – h_{r, s}k_p,q est un monôme (non nul) de degré p + q + 1 :
  En effet, d'une part ce polynôme est de degré inférieur ou égal à p + q + 1 et d'autre part, d'après l'égalité${\displaystyle h_{p,q}k_{r,s}-h_{r,s}k_{p,q}=k_{p,q}{\Big (}k_{r,s}\exp -h_{r,s}{\Big )}-k_{r,s}{\Big (}k_{p,q}\exp -h_{p,q}{\Big )},}$son premier monôme non nul est de degré p + q + 1.

• Les polynômes h_p,q et k_p,q sont premiers entre eux :
  En effet, d'après la propriété précédente, tout polynôme divisant à la fois h_p,q et k_p,q divise un monôme ; on en déduit que les seuls facteurs communs aux deux polynômes sont des puissances de t. Comme ces deux polynômes ne sont pas divisibles par t, ils sont bien premiers entre eux.
• Les polynômes h_p,q et k_p,q sont uniques :
  Soient h et k deux polynômes, de degrés respectivement majorés par p et q, tels que le développement en série entière en 0 de la fraction h/k coïncide jusqu'au degré n avec celui la fonction exponentielle. Par le même raisonnement que ci-dessus, h_p,qk – hk_p,q est un polynôme de degré inférieur ou égal à n sans monômes de degrés inférieurs ou égaux à n. Cette différence est donc nulle. Comme les polynômes h_p,q et k_p,q sont premiers entre eux et de degrés respectifs p et q, le couple (h, k) est proportionnel au couple (h_p,q, k_p,q).

Pour un n fixé, on notera pour simplifier (p, q), (r, s) et (u, v) les couples correspondant aux indices n, n + 1 et n +2.

• Il existe deux polynômes α et β tels que les égalités suivantes soient vérifiées. Les degrés de ces polynômes sont donnés par la figure du paragraphe :${\displaystyle {\begin{cases}\alpha h_{p,q}+\beta h_{r,s}&=h_{u,v},\\\alpha k_{p,q}+\beta k_{r,s}&=k_{u,v}.\end{cases}}}$Ce système de Cramer a pour déterminant Δ = h_p,qk_{r, s} – h_{r, s}k_p,q et sa solution est :${\displaystyle \alpha ={\frac {h_{u,v}k_{r,s}-h_{r,s}k_{u,v}}{\Delta }},\quad \beta ={\frac {h_{p,q}k_{u,v}-h_{u,v}k_{p,q}}{\Delta }}.}$D'après la section précédente, Δ est un monôme de degré p + q + 1. Il en résulte — par le même argument pour son numérateur — que α est un monôme de degré 1 pour les configurations 1 et 2 et de degré 2 pour la configuration 3. De même, β est un monôme de degré 0 dans la configuration 1 et un polynôme de degré inférieur ou égal à 1 dans les configurations 2 et 3 (de degré 1 en général, mais 0 si les trois couples d'indices sont sur la diagonale principale).
• Le coefficient constant de β vaut 1 :
  Immédiat, par identification des termes constants dans l'égalité${\displaystyle \alpha k_{p,q}+\beta k_{r,s}=k_{u,v}.}$

• Calcul pour la première fraction continue :

Le monôme α_n est de la forme a_nx² et le polynôme β_n, de la forme 1 + b_nx. La relation de récurrence montre que pour tout entier naturel n, on a pour les numérateurs :

${\displaystyle h_{n+2,n+1}=a_{n+2}x^{2}h_{n,n-1}+(1+b_{n+2}x)h_{n+1,n}}$

et de même pour les dénominateurs.

Par identification des coefficients dominants, au numérateur et dénominateur,

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {(n+1)!}{(2n+3)!}}&=b_{n+2}{\frac {n!}{(2n+1)!}}+a_{n+2}{\frac {(n-1)!}{(2n-1)!}},\\{\frac {(n+2)!}{(2n+3)!}}&=-b_{n+2}{\frac {(n+1)!}{(2n+1)!}}+a_{n+2}{\frac {n!}{(2n-1)!}}.\end{cases}}}$

En résolvant le système, on trouve

${\displaystyle a_{n+2}={\frac {1}{4(2n+1)^{2}}}\quad {\text{et}}\quad b_{n+2}={\frac {-1}{(2n+1)(2n+3)}}.}$

• Calcul pour la deuxième fraction continue :

Avec les mêmes notations que pour le calcul précédent mais compte tenu du fait qu'ici, β_n+2 = 1, on a

${\displaystyle h_{n+2,n+2}=a_{n+2}x^{2}h_{n,n}+h_{n+1,n+1}.}$

Par identification des coefficients dominants, on trouve

${\displaystyle a_{n+2}={\frac {1}{4(2n+1)(2n+3)}}.}$

Si la limite ω de la suite (ω_n) = (p_n/q_n) est infinie, on se ramène au cas où elle est nulle en remplaçant x par –x et en intervertissant les lettres p et q ainsi que h et k. Supposons désormais que ω est finie. La suite (q_n) tend alors vers l'infini.

• Si a_k,n et b_k,n désignent les coefficients des termes du k-ième degré des polynômes h_{(pn, qn)} et k_{(pn, qn)}, alors :${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{k,n}={\frac {1}{k!}}\left({\frac {\omega }{1+\omega }}\right)^{k}\quad {\text{et}}\quad \lim _{n\to \infty }b_{k,n}={\frac {1}{k!}}\left({\frac {-1}{1+\omega }}\right)^{k}.}$En effet, par définition,${\displaystyle a_{k,n}={\begin{Bmatrix}{\frac {p_{n}!(p_{n}+q_{n}-k)!}{(p_{n}-k)!(p_{n}+q_{n})!k!}}&{\text{ si }}p_{n}\geq k\\0&{\text{ sinon}}\end{Bmatrix}}={\frac {1}{k!}}\prod _{i=0}^{k-1}{\frac {p_{n}-i}{p_{n}+q_{n}-i}}}$et${\displaystyle b_{k,n}={\begin{Bmatrix}{\frac {(-1)^{k}q_{n}!(p_{n}+q_{n}-k)!}{(q_{n}-k)!(p_{n}+q_{n})!k!}}&{\text{ si }}q_{n}\geq k\\0&{\text{ sinon}}\end{Bmatrix}}={\frac {(-1)^{k}}{k!}}\prod _{i=0}^{k-1}{\frac {q_{n}-i}{p_{n}+q_{n}-i}}.}$On conclut en remarquant que pour chacune des k valeurs de i considérées,${\displaystyle {\frac {p_{n}-i}{p_{n}+q_{n}-i}}={\frac {\omega _{n}-i/q_{n}}{\omega _{n}+1-i/q_{n}}}\to {\frac {\omega }{\omega +1}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {q_{n}-i}{p_{n}+q_{n}-i}}={\frac {1-i/q_{n}}{\omega _{n}+1-i/q_{n}}}\to {\frac {1}{\omega +1}}.}$

Soit E un ensemble borné, A un majorant de la borne de E et ε un réel strictement positif.

• Les deux suites (h_{(pn, qn)}(x)) et (k_{(pn, qn)}(x)) convergent uniformément sur E ainsi que leur rapport^[3] :
  Fixons un entier naturel m tel que${\displaystyle \sum _{k=m}^{\infty }{\frac {A^{k}}{k!}}\leq {\frac {\varepsilon }{3}}.}$Alors, pour tout entier naturel n (en utilisant que a_k,n ≤ 1/k! et ω/(1+ ω) ≤ 1),${\displaystyle \forall x\in E\quad \left|h_{(p_{n},q_{n})}(x)-\exp \left({\frac {\omega x}{1+\omega }}\right)\right|\leq \sum _{k=0}^{\infty }A^{k}\left|a_{k,n}-{\frac {1}{k!}}\left({\frac {\omega }{1+\omega }}\right)^{k}\right|\leq R_{n}+{\frac {2\varepsilon }{3}}}$avec${\displaystyle R_{n}=\sum _{0\leq k<m}A^{k}\left|a_{k,n}-{\frac {1}{k!}}\left({\frac {\omega }{1+\omega }}\right)^{k}\right|.}$La proposition précédente montre qu'il existe N tel que pour tout n ≥ N, R_n ≤ ε/3. On en déduit :${\displaystyle \forall n\geq N\quad \forall x\in E\quad \left|h_{(p_{n},q_{n})}(x)-\exp \left({\frac {\omega x}{1+\omega }}\right)\right|\leq \varepsilon .}$On a donc prouvé la première des trois convergences annoncées, uniformément sur E. La deuxième se montre de manière analogue et la troisième s'en déduit, puisque |exp(–x/(1+ ω))| est minorée sur E par exp(–A/(1+ ω)) > 0.