Algorithme de Faddeev-Le Verrier

L'algorithme de Faddeev-Le Verrier est une méthode permettant de calculer le polynôme caractéristique d'une matrice. Il porte le nom du mathématicien russe Dimitri Constantinovitch Faddeev. Publié pour la première fois par Urbain Le Verrier (1840)[1], il fut redécouvert à de nombreuses reprises : Horst[2] (1935), Souriau (1948), Frame (1949), Faddeev et Sominskii (1949).

Présentation du problème

Calculer le polynôme caractéristique d'une matrice carrée M d'ordre n revêt une importance pratique fondamentale, puisque c'est un moyen d'accéder aux valeurs propres de M ou à un polynôme s'annulant en M (théorème de Cayley-Hamilton). Cependant, ce problème est hautement calculatoire, et l'algorithme naïf, qui consisterait à calculer directement le déterminant det ( X I n − M ) {\displaystyle \det(XI_{n}-M)} , est extrêmement lourd sur le plan de la complexité algorithmique : comme il s'agit d'un déterminant, sa définition comme somme de n! termes, où n désigne la taille de la matrice M, est impraticable ; même la méthode du pivot, qui permet de ramener ce calcul à un temps d'ordre O(n3), devient difficile à mettre en œuvre pour des matrices de taille relativement modeste (n de l'ordre de quelques dizaines).

Description de l'algorithme

L'algorithme de Faddeev s'inscrit dans une démarche d'efficacité. Partons de la matrice M, dont on cherche le polynôme caractéristique P M {\displaystyle P_{M}} .

On définit par récurrence la suite finie de matrices ( M k ) 0 ≤ k ≤ n − 1 {\displaystyle (M_{k})_{0\leq k\leq n-1}} par :

M 0 = M {\displaystyle M_{0}=M}
M k = M ( M k − 1 − 1 k t r ( M k − 1 ) I n ) {\displaystyle M_{k}=M{\Big (}M_{k-1}-{\frac {1}{k}}\mathrm {tr} (M_{k-1})I_{n}{\Big )}} pour 1 ≤ k ≤ n − 1 {\displaystyle 1\leq k\leq n-1}

Alors on montre[3] que le polynôme caractéristique de M vaut :

P M = det ( X I n − M ) = X n − ∑ k = 1 n 1 k t r ( M k − 1 ) X n − k {\displaystyle P_{M}=\det(XI_{n}-M)=X^{n}-\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\mathrm {tr} (M_{k-1})X^{n-k}}

Complexité de l'algorithme de Faddeev

Les coefficients du polynôme caractéristique s'expriment en matière de traces, de produits et de somme de matrices, ce qui les rend relativement faciles à calculer, tout du moins pour une machine. La complexité de l'algorithme de Faddeev est polynomiale, et on peut montrer qu'il est plus efficace dans de nombreux cas que le calcul du déterminant par la méthode du pivot. De plus, une implémentation parallèle rapide de l'algorithme de Faddeev a été obtenue par Lazslo Csanky[4] en 1975 ; elle montre que cet algorithme est dans la classe de complexité NC.

Notes et références

  1. ↑ Urbain Le Verrier, « Sur les variations séculaires des éléments des orbites pour les sept planètes principales », Journal de Mathématiques, vol. 1, no 5,‎ , p. 230 (lire en ligne) lire en ligne sur Gallica
  2. ↑ Cf. (en) Paul Horst, « A method of determining the coefficients of a characteristic equation », Ann. Math. Stat., no 6,‎ , p. 83-84 (DOI 10.1214/aoms/1177732612).
  3. ↑ Cf. par exemple (en) A. S. Householder, The Theory of Matrices in Numerical Analysis, Dover et l'article « Identités de Newton ».
  4. ↑ (en) L. Csanky, « Fast parallel matrix inversion algorithms », Foundations of Computer Science, 1975.

Article connexe

Algorithme de Samuelson-Berkowitz (de)

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