Vastatapahtuma

Vastatapahtuma eli komplementtitapahtuma ^[1] (engl. complementary event) tai joskus vain vastatapaus ^[2] on yksi toden­näköisyys­laskennassa perus­käsitteistä. Annetun ­tapahtuman vasta­tapahtumalla tarkoitetaan tilannetta, jossa kyseinen tapahtuma ei toteudu. Jos jonkin tapahtuma todennäköisyys on A, sen vasta­tapahtuman toden­näköisyys on 1 – A.

Jokainen kysymykseen tuleva tapahtuma, jolle toden­näköisyys voidaan määrittää, koostuu tietystä joukosta satunnaisilmiön alkeis­tapauksia, ja vastatapahtuma muodostuu satunnaisilmiön perusjoukon kaikista muista alkeistapauksista. Tapahtuman ${\displaystyle A}$ vastatapahtumaa merkitään yleensä ${\displaystyle {\bar {A}}}$ ^[1], ${\displaystyle A'}$, ${\displaystyle A^{c}}$ ^[2][3] tai ${\displaystyle C^{A}}$ ^[4].^{[1][5][6][2][7][8]}

Vastatapahtuma voidaan merkitä joukko-opin käsittein ${\displaystyle {\bar {A}}=\Omega \setminus A.}$ Määritelmä tekee tapahtumasta ja vastatapahtumasta erilliset tapahtumat.^[4]

Tapahtuman alkeistapauksia voidaan kohdella joukon alkioina. Joukot, jotka jakavat perusjoukon kahteen osaan, ovat toisilleen komplementit joukot. Joukon ${\displaystyle A}$komplementtijoukko ${\displaystyle A^{c}}$ määritellään ${\displaystyle A^{c}:=\{\omega \in \Omega ;\omega \notin A\}.}$ Jos tapahtuma on tyhjä joukko, on sen vastatapahtuma perusjoukko, ja päinvastoin: ${\displaystyle \Omega ^{c}=\emptyset }$ ja vastaavasti ${\displaystyle \emptyset ^{c}=\Omega .}$ Nopanheitossa tapahtuman "vähintään nelonen" vastatapahtuma olisi "korkeintaan kolmonen" eli ${\displaystyle \{1,2,3\}.}$ Tapahtuma ja vastatapahtuma muodostavatkin yhdessä perusjoukon: ${\displaystyle \{1,2,3\}\cup \{4,5,6\}=\{1,2,3,4,5,6\}}$ luonnollisella tavalla.^[2][4][3]

Todennäköisyys, että alkeistapaus ${\displaystyle \omega }$ kuuluu perusjoukkoon ${\displaystyle \Omega }$ on yksi. Samasta syystä voidaan sanoa, että alkeistapaus kuuluu varmuudella aina tapahtumaan tai vastatapahtumaan, sillä perusjoukko muodostuu niistä. Silloin on

${\displaystyle P(A{\text{ tai }}{\bar {A}})=P(A\cup {\bar {A}})=P(A)+P({\bar {A}})=1.}$ ^[1]

Silloin vastatapahtuman ${\displaystyle {\bar {A}}}$ todennäköisyys on

${\displaystyle P({\bar {A}})=1-P(A).}$ (komplementtisääntö) ^[1][6][2]