Kolmion sisään piirretty ympyrä

Kolmion sisälle piirretty ympyrän keskipiste on samalla kolmion kulmien puolittajien leikkauspiste.
Sisään piirretyn ympyrän (keskipiste I) sivuamispisteiden ja kolmion kärkien yhdistävät janat leikkaavat yhteisessä pisteessä Ge, jota kutsutaan Gergonnen pisteeksi.

Kolmion sisälle piirretty ympyrä eli kolmion sisäympyrä tarkoittaa geometriassa kolmion kolmea sivua sen sisäpuolelta sivuavaa ympyrää. Kolmion sivut ovat tällöin ympyrän tangentteja. Sama ympyrä saadaan, kun kolmion sisälle piiretään suurin sinne mahtuva ympyrä. Tällainen ympyrä on kolmiolla aina olemassa.[1][2]

Ympyrän keskipiste on samalla kolmion kulmanpuolittajien leikkauspiste I. Piste I on yhtä kaukana, siis ympyrän säteen r etäisyydellä, kustakin kolmion sivusta.[3][4][5][6] Keskipiste on eräs kolmion merkillisistä pisteistä ja se on luetteloitu Kimberlingin pisteiden luetteloon tunnuksella X 1 . {\displaystyle \scriptstyle X_{1}.} [7]

Kun sisäympyrän sivuamispisteet yhdistetään sivujen vastaisiin kärkiin, leikkaavat kaikki kolme janaa Gergonnen pisteessä ( X 7 {\displaystyle \scriptstyle X_{7}} ).[8]

Kaavoja

Kolmion sivun pituudet a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} ja c {\displaystyle c} sekä kolmion piirin pituuden puolikas s = 1 2 ( a + b + c ) {\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)} .[3]

Kolmion ala A voidaan laskea Heronin kaavalla

A = 1 4 2 s ( a − b + c ) ( b − c + a ) ( c − a + b ) {\displaystyle A={\frac {1}{4}}{\sqrt {2s(a-b+c)(b-c+a)(c-a+b)}}}
= s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) . {\displaystyle ={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.} [3]

Ala voidaan myös laskea

A = r s , {\displaystyle A=rs,} [3][9]

jolloin sisään piirretyn ympyrän säde r on

r = A s = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) s . {\displaystyle r={\frac {A}{s}}={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}.} [3]

Lähteet

  • Väisälä Kalle: Geometria. Porvoo: Wsoy, 1959. Teoksen verkkoversio (pdf).
  • Kurittu Lassi: Geometria (pdf) (luentomoniste) 2006. Jyväskylän: Jyväskylän Yliopisto.
  • Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi (pdf) (luentomoniste) users.utu.fi. 2012. Turun yliopisto. Viitattu 14.12.2012.

Viitteet

  1. ↑ Math Open Reference: The Incircle of a triangle
  2. ↑ Weisstein, Eric W.: Incircle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  3. ↑ a b c d e Seppänen, Raimo et al.: MAOL, s. 29. (lukion taulukkokirja). Helsinki: Otava, 2006. ISBN 951-1-20607-9.
  4. ↑ Väisälä Kalle: Geometria, 1959, s. 79
  5. ↑ Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s. 26
  6. ↑ Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s. 98
  7. ↑ Kimberling, Clark: Encyclopedia (html) Tekijän kotisivut. 2013. Evansville: Evansvillen Yliopisto. Viitattu 20.4.2013. (englanniksi)
  8. ↑ Weisstein, Eric W.: Gergonne's Point (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  9. ↑ Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s. 109