Bektore espazio

Matematikan eta zehazkiago aljebra linealean bektore espazioa edo espazio bektoriala hutsa ez den multzo batetik sorturiko egitura aljebraiko bat da, egitura hau aipatutako multzo ez hutsa horren eta bektore batuketa batetik (barne operazioa) edota eskalar biderketa sortzen da.

Definizioa:

Izan bitez ${\displaystyle (K,+,\cdot )}$eta ${\displaystyle V}$multzoa, orduan ${\displaystyle VK}$-espazio bektoriala da baldin eta solik baldin:

1. ${\displaystyle (V,+)}$Talde abeldarra da, hau da, multzoak gehiketa aplikazioa definituta du, taldearen elementu neutroa ${\displaystyle 0_{V}}$denotatuko dugu.
2. Kanpo aplikazioa (eragiketa) existitzen da:${\displaystyle {\begin{aligned}\cdot :K\times V\to V\\(k,v)\to k\cdot v\\\end{aligned}}}$ (eskalar eta bektore arteko biderketa)

Gorputzeko elementuak eskalarrak deritze eta ${\displaystyle V}$-ko elementuak bektore, kanpo aplikazioak betetzen dituen propietateak hurrengoak dira:

• Banatze propietatea eskalarren gehiketarekiko: ${\displaystyle \forall k_{1},k_{2}\in K,\forall v\in V:(k_{1}+k_{2})\cdot v=k_{1}\cdot v+k_{2}\cdot v}$
• Banatze propietatea bektoreen gehiketarekiko:${\displaystyle \forall v_{1},v_{2}\in V,\forall k\in K:(v_{1}+v_{2})\cdot k=v_{1}\cdot k+v_{2}\cdot k}$
• Elkartze propietatea: ${\displaystyle \forall k_{1},k_{2}\in K,\forall v\in V:k_{1}(k_{2}\cdot v)=(k_{1}\cdot k_{2})\cdot v}$
• Bektorea eta gorputzeko biderketarekiko elementu neutroaren arteko produktua bektore bera da: ${\displaystyle \forall v\in V:v\cdot 1_{K}=v}$

Adibideak:

${\displaystyle \mathbb {Z} }$ez da ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-espazio bektoriala zeren, nahiz eta ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$talde abeldarra izan, adibidez bektore moduan 3 zenbakia hartzen badugueta eskalar moduan 1/2, bektore bider eskalar produktua ez dago multzo barruan, hau da, 1.5 ez da zenbaki osoa.

Ostean, ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-${\displaystyle \mathbb {Q} }$-espazio bektoriala da, baita ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$espazio bektoriala da.

Beraz ${\displaystyle (K,+,\cdot )}$gorputza izanik, ${\displaystyle K^{n}}$${\displaystyle K}$espazio bektoriala da.

Espazio bektorialak: ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$espazio bektoriala da, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$espazio bektoriala da, ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$espazio bektoriala da.

Propietate gehiago:

${\displaystyle V}$${\displaystyle K}$espazio bektoriala bada:

${\displaystyle (i)}$${\displaystyle \forall k\in K:k\cdot 0_{V}=0_{V}}$

Badakigu ${\displaystyle 0_{V}=0_{V}+0_{V}}$, orduan ${\displaystyle k\cdot 0_{V}=k\cdot (0_{V}+0_{V})=k\cdot 0_{V}+k\cdot 0_{V}}$ dugu, eta, beraz, ${\displaystyle k\cdot 0_{V}=k\cdot 0_{V}+k\cdot 0_{V}}$. Adierazpena sinplifikatuz, ${\displaystyle 0_{V}=k\cdot 0_{V}}$ ondorioztatzen da.

${\displaystyle (ii)}$${\displaystyle \forall v\in V:v\cdot 0_{K}=0_{V}}$

Badakigu ${\displaystyle 0_{K}=0_{K}+0_{K}}$orduan ${\displaystyle v\cdot 0_{K}=v\cdot (0_{K}+0_{K})=v\cdot 0_{K}+v\cdot 0_{K}\Longrightarrow v\cdot 0_{K}=v\cdot 0_{K}+v\cdot 0_{K}}$eta adierazpena sinplifikatuz ${\displaystyle 0_{V}=v\cdot 0_{K}}$

${\displaystyle (iii)}$${\displaystyle k\cdot v=0_{V}\Longleftrightarrow k=0_{K}edov=0_{V}}$

${\displaystyle \Longrightarrow }$

Demagun ${\displaystyle k\in K-\{0_{K}\}}$dela, orduan existitzen da eskalarraren alderantzizkoa ${\displaystyle k^{-1}}$, orduan ${\displaystyle k\cdot v=0_{V}}$adierazpenean biderkatuz:

${\displaystyle (k^{-1}\cdot k)\cdot v=k^{-1}\cdot 0_{V}\Longrightarrow 1_{K}\cdot v=0_{V}\Longrightarrow v=0_{V}}$

${\displaystyle \Longleftarrow }$Frogatuta dago ${\displaystyle (i)}$eta ${\displaystyle (ii)}$-n.

${\displaystyle (iv)}$${\displaystyle -v=(-1_{K})\cdot v,\forall v\in V}$

Mugitu adierazpenean bektorea eskumara: ${\displaystyle 0_{V}=v+(-1_{K})\cdot v}$, badakigu ${\displaystyle v=(1_{K})\cdot v,\forall v\in V}$, ordezkatu: ${\displaystyle (1_{K})\cdot v+(-1_{K})\cdot v=0_{V}}$banatze propietatea erabiliz:

${\displaystyle v\cdot (1_{K}-1_{K})=0_{V}}$eta badakigu ${\displaystyle 1_{K}-1_{K}=0_{K}}$beraz ${\displaystyle v\cdot (1_{K}-1_{K})=v\cdot (0_{k})=0_{V}}$

${\displaystyle (v)}$ ${\displaystyle u+w=v+w\Longrightarrow u=v}$

${\displaystyle (vi)}$ ${\displaystyle 0v=0,\forall v\in V}$

${\displaystyle (vii)}$ ${\displaystyle \lambda 0=0,\forall \lambda \in K}$

${\displaystyle (viii)}$ ${\displaystyle (-\lambda )v=-\lambda v,\forall \lambda \in K}$ eta ${\displaystyle \forall v\in K}$

${\displaystyle (ix)}$ ${\displaystyle \lambda v=0\Longleftrightarrow \lambda =0}$ edo ${\displaystyle v=0}$

${\displaystyle (x)\lambda v=\mu v}$ eta ${\displaystyle v\neq 0\Longrightarrow \lambda =\mu }$

${\displaystyle (xi)}$${\displaystyle \lambda v=\lambda w}$ eta ${\displaystyle \lambda \neq 0\Longrightarrow v=w}$

Kanpo estekak

• Datuak: Q125977
• Multimedia: Vector spaces / Q125977