Azpimultzo

Matematikan, bereziki multzo-teorian, azpimultzoa multzo bateko zenbait elementuz osatutako edozein multzoa da.

Definizioa

Izan bitez A eta B bi multzo non A-ren elementu bakoitza B-ren elementua ere den. Orduan:

• A B-ren azpimultzoa da, eta A ⊆ B adierazten da
• B A-ren gainmultzoa da, eta B ⊇ A adierazten da

Azpimultzoen arteko diferentzia, multzo baten barnean eta bestean ez dauden elementuek osatzen dute.

Azpimultzo propioa

Jatorrizko multzoaren osaera bera ez duen azpimultzoa.

Izan bedi A B-ren azpimultzo bat ezen A ≠ B baita. Orduan esaten da A B-ren azpimultzo propio bat dela, eta A ⊊ B adierazten da.
(Era berean, esaten da B A-ren gainmultzo propio bat dela, B ⊋ A)

A ⊂ B eta B ⊃ A notazioak ere erabiltzen dira, baina haiek azpimultzoa adieraz dezakete, A ⊆ B eta B ⊇ A; edo azpimultzo propio, A ⊊ B eta B ⊋ A.

Ezaugarriak

• A multzoa B multzoaren azpimultzoa da baldin eta soilik baldin haien ebakidura A bada.

${\displaystyle A\subseteq B\iff A\cap B=A}$

• A multzoa B multzoaren azpimultzoa da baldin eta soilik baldin haien bildura B bada.

${\displaystyle A\subseteq B\iff A\cup B=B}$

Propietateak

• Azpimultzo hutsa ∅ bezala adierazten da, multzo guztien azpimultzoa da. Izan ere, « ∅-k ez du elementurik An dagoena» eta «∅-ko elementu guztiak Akoak dira» esanahi berdina dute. Hau edozein An gertatzen da, ∅k ez baitu elementurik.
• A multzoko elementuak B multzoan badaude, eta Bko elementu guztiak C multzoan badaude, Ako elementuak C multzoaren barnean daude. Hau da, A Bren azpimultzoa bada, eta B Cren azpimultzoa bada, orduan A Cren azpimultzoa da.
• Bi multzo elkarren azpimultzo badira, hau da, Ako elementu guztiak Bn badaude eta Bko elementu guztiak An badaude, bi multzoek elementu berdinak dituzte. Beste modu batera esanda, A Bren azpimultzoa bada, eta B Aren azpimultzoa bada, orduan A=B

Adibideak

• {1,2,3} multzoa {-563,1,2,3,68} multzoaren azpimultzo propio bat da.

${\displaystyle \{1,2,3\}\subset \{-563,1,2,3,68\}}$

• [0;1] tartea zenbaki errealen multzoko azpimultzo propio bat da.

${\displaystyle [0;1]\subset R}$

• {46,189,1264} multzoa beraren azpimultzo bat da, eta zenbaki arrunten multzoko azpimultzo propio bat da.

${\displaystyle \{46,189,1264\}\subseteq \{46,189,1264\}}$

${\displaystyle \{46,189,1264\}\subset N}$

Kanpo estekak

• Datuak: Q177646
• Multimedia: Subsets / Q177646