Relaciones de Kramers-Kronig

En matemáticas y en física, las relaciones de Kramers-Kronig describen la relación que existe entre la parte real y la parte imaginaria de ciertas funciones complejas. La condición para que se apliquen a una función ${\displaystyle f(\omega )}$ es que esta debe representar la transformada de Fourier de un proceso físico lineal y causal. Si escribimos

${\displaystyle f(\omega )=f_{1}(\omega )+if_{2}(\omega )}$,

con ${\displaystyle f_{1}}$ y ${\displaystyle f_{2}}$ dos funciones reales, entonces las relaciones de Kramers-Kronig son

${\displaystyle f_{1}(\omega )={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {\Omega f_{2}(\Omega )}{\omega ^{2}-\Omega ^{2}}}d\Omega }$

${\displaystyle f_{2}(\omega )=-{\frac {2\omega }{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {f_{1}(\Omega )}{\omega ^{2}-\Omega ^{2}}}d\Omega }$.

Las relaciones de Kramers-Kronig están relacionadas con la transformada de Hilbert, y son frecuentemente aplicadas a la permitividad ${\displaystyle \epsilon (\omega )}$ de los materiales. Sin embargo, en este caso, hay que tener en cuenta que:

${\displaystyle f(\omega )=\chi (\omega )=\epsilon (\omega )/\epsilon _{0}-1\,}$,

con ${\displaystyle \chi (\omega )}$ la susceptibilidad eléctrica del material. La susceptibilidad puede interpretarse como la transformada de Fourier de la respuesta temporal del material a una excitación infinitamente breve, es decir, su respuesta al impulso.

Enlaces externos

• matemática de las relaciones de Kramers-Kronig (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).