Función implícita

Una función se llama implícita cuando está definida mediante una ecuación de la forma ${\displaystyle f(x,\,y)=0.}$

Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en cierta región de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ entre las variables x e y:

${\displaystyle y^{3}+y^{2}+5xy+x^{2}+x+y=0\,}$

Derivación

Para derivar una función implícita se usa la regla de la cadena; en el caso de la variable independiente, sin dificultad alguna, se deriva directamente; al derivar la variable dependiente se la considera como una función que a su vez depende de la variable independiente:

Dada una función ${\displaystyle F(x,y)\,}$, implícita, si queremos calcular la derivada de y respecto de x: ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f'(x)}$.

Si consideramos ${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ es una función en términos de la variable independiente x y ${\displaystyle G\left(y\right)}$ es una función en términos de la variable dependiente y, dado que ${\displaystyle y=f\left(x\right)}$, entonces para obtener la derivada:

${\displaystyle D_{x}\left(G\left(y\right)\right)=D_{x}\left(G\left(f\left(x\right)\right)\right)=G'\left(f\left(x\right)\right)\left(f'\left(x\right)\right)}$

Ejemplo

Obtener la derivada de:

${\displaystyle 6x^{2}y+5y^{3}+3x^{2}=12-x^{2}y^{2}}$

El término ${\displaystyle 6x^{2}y}$ se puede considerar que son dos funciones, ${\displaystyle 6x^{2}}$ y ${\displaystyle y}$ por lo que se derivará como un producto:

${\displaystyle D_{x}\left(6x^{2}y\right)=\left(12x\right)\cdot y+\left(6x^{2}\right)\cdot \left({\frac {dy}{dx}}\right)}$

El término ${\displaystyle 5y^{3}}$ se deriva como:

${\displaystyle D_{x}\left(5y^{3}\right)=15y^{2}\cdot {\frac {dy}{dx}}}$

El término ${\displaystyle 3x^{2}}$ se deriva de forma normal como:

${\displaystyle D_{x}\left(3x^{2}\right)=6x\,}$

El valor constante 12, que no depende ni de x ni de y, tiene por derivada 0, como corresponde a un valor constante.

${\displaystyle D_{x}\left(12\right)=0\,}$

El término ${\displaystyle x^{2}y^{2}}$ se puede considerar como un producto y se deriva como:

${\displaystyle D_{x}\left(x^{2}y^{2}\right)=2xy^{2}+x^{2}\cdot \left(2y\cdot {\frac {dy}{dx}}\right)}$

Al unir todos los términos se obtiene:

${\displaystyle 12xy+6x^{2}\cdot {\frac {dy}{dx}}+15y^{2}\cdot {\frac {dy}{dx}}+6x=-2xy^{2}-2x^{2}y\cdot {\frac {dy}{dx}}}$

Ordenando:

${\displaystyle 6x^{2}\cdot {\frac {dy}{dx}}+15y^{2}\cdot {\frac {dy}{dx}}+2x^{2}y\cdot {\frac {dy}{dx}}=-12xy-6x-2xy^{2}}$

Factorizando respecto a ( ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$ ) los valores son:

${\displaystyle \left(6x^{2}+15y^{2}+2x^{2}y\right)\cdot {\frac {dy}{dx}}=-\left(12xy+6x+2xy^{2}\right)}$

Finalmente despejando ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$ se obtiene la derivada de la función implícita:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {12xy+6x+2xy^{2}}{6x^{2}+15y^{2}+2x^{2}y}}}$

Véase también

• Función matemática
• Derivada
• Teorema de la función implícita

Referencias

• John B. FRALEIGH. Cálculo con geometría analítica. Fondo Educativo Interamericano, S.A. México D.F., 1984 ISBN 968-50-0127-8

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Implicit Function». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Implicit_function&oldid=17179», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .