Función | Derivada |
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La derivación de las funciones trigonométricas es el proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una función trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, la derivada de la función. Las funciones trigonométricas más habituales son las funciones sen(x), cos(x) y tan(x). Por ejemplo, al derivar f(x) = sen(x), se está calculando la función f'(x) tal que da el ritmo de cambio del sen(x) en cada punto x.
![{\displaystyle f'(x)=\cos(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cba0d31b2482c08dda6ec9adfd04fa7e3d9372f)
Derivada de la función coseno
Dada la función
es inmediato que:
![{\displaystyle f'(x)=-\operatorname {sen}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/028f539662eb6351e1636ad806daf91ed750b0ee)
Derivada de la función tangente
A partir de la regla del cociente, según la cual si la función que se quiere derivar,
,
![{\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08a3015775a256d35a32493d1322366b2e08458c)
y
, entonces la regla dice que la derivada de
es igual a:
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c88a63b6dca6feb28c3fbfa5db1925eb400bfd4)
A partir de la identidad trigonométrica
![{\displaystyle \tan(x)={\frac {\operatorname {sen}(x)}{\cos(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8bb6f6467a3ec614ba99a455c97050a204c297b)
haciendo:
![{\displaystyle g(x)=\operatorname {sen}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8afce257db8f83642fb5a94091cb3be484671780)
![{\displaystyle g'(x)=\cos(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0520d693cc9e496d05674e785147da75ea992229)
![{\displaystyle h(x)=\cos(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d383b4b1d85636609357703e761b124b7ce98774)
![{\displaystyle h'(x)=-\operatorname {sen}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/555a64ac07557851a1133af9447be6d0d3d2da4b)
sustituyendo resulta
![{\displaystyle f'(x)={\frac {\cos(x)\cos(x)-\operatorname {sen}(x)[-\operatorname {sen}(x)]}{\cos ^{2}(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a024f3b34dcb44927916a83bda03c94850dd14e9)
operando
![{\displaystyle f'(x)={\frac {\cos ^{2}(x)+\operatorname {sen} ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96983b1c95a5307ddd2cce6279b53bf8c7e5859d)
y aplicando las identidades trigonométricas
![{\displaystyle \cos ^{2}(x)+\operatorname {sen} ^{2}(x)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/510cdcfee8066b08f742ca925c1c81b3fb0daf08)
![{\displaystyle \sec ^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e996d97d801f96468b90d652f2b40ecdf254d253)
resulta:
![{\displaystyle f'(x)=\sec ^{2}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db82481fbe59e5f77d910ad706067126d004ea64)
Derivada de la función arcoseno
Tenemos una función
, que también se puede expresar como
. Derivando implícitamente la segunda expresión:
![{\displaystyle \cos y\cdot {\frac {dy}{dx}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c72af9a221b4c8e2360c4182bf647a9d9acb7172)
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\cos y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d921b7bc9808a890cee82c8b1fbe8ecae1b46b90)
Tenemos además que
, y que
. Sustituyendo, tenemos la fórmula final:
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsen} x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bebfab567043f8acb96e8f8a4df3b090eeb31f9e)
Ejemplo #1
![{\displaystyle y=\csc(x)\cot(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f5e2b00d97b9a58b18590f6316fe5236c4b07ab)
![{\displaystyle y'=-\csc(x)\csc ^{2}(x)-\cot(x)\csc(x)\cot(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa729a87de25e5859fa600ff744ca1623db68702)
![{\displaystyle y'=-\csc(x)\csc ^{2}(x)-\cot ^{2}(x)\csc(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bb3bee8778cd4ff888e5276217ece75ef2ea2aa)
![{\displaystyle y'=-\csc ^{3}(x)-\cot ^{2}(x)\csc(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3c7a59cd6943f2879f50790b473fbccdd799d0d)
Ejemplo #2
![{\displaystyle y=3\operatorname {sen}(x)-2\cos(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/920a5165e59599e493706c6fe6a558499b8c2315)
![{\displaystyle y'=3{\frac {d\operatorname {sen} x}{dx}}-2{\frac {d\cos x}{dx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/698efa3a12c0ef25642e04123a6f159a121dd321)
![{\displaystyle y'=3\cos(x)+2\operatorname {sen}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32c69bbf96666ac880c947eb9af030f24e7a9e5d)
Enlaces
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