Conjunto radial

En matemáticas, un subconjunto A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} de un espacio vectorial X {\displaystyle X} es radial en un punto dado a 0 ∈ A {\displaystyle a_{0}\in A} si para cada x ∈ X {\displaystyle x\in X} existe un t x > 0 {\displaystyle t_{x}>0} real tal que para cada t ∈ [ 0 , t x ] , {\displaystyle t\in [0,t_{x}],} a 0 + t x ∈ A . {\displaystyle a_{0}+tx\in A.} [1]​ Geométricamente, esto significa que A {\displaystyle A} es radial en a 0 {\displaystyle a_{0}} si para cada x ∈ X , {\displaystyle x\in X,} hay algún segmento rectilíneo (no degenerado) (dependiente de x {\displaystyle x} ) que emana de a 0 {\displaystyle a_{0}} en dirección a x {\displaystyle x} y que se encuentra completamente en A . {\displaystyle A.} .

Todo conjunto radial es un dominio en estrella, aunque no a la inversa.

Relación con el interior algebraico

Los puntos en los que un conjunto es radial se denominan puntos internos.[2]​[3]​ El conjunto de todos los puntos en los que A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} es radial es igual al interior algebraico.[1]​[4]​

Relación con los conjuntos absorbentes

Cada subconjunto absorbente es radial en el origen a 0 = 0 , {\displaystyle a_{0}=0,} y si el espacio vectorial es real, entonces también se cumple lo contrario. Es decir, un subconjunto de un espacio vectorial real es absorbente si y solo si es radial en el origen. Algunos autores utilizan el término radial como sinónimo de absorbente.[5]​

Véase también

  • Conjunto absorbente
  • Interior algebraico
  • Funcional de Minkowski
  • Dominio en estrella

Referencias

  1. ↑ a b Jaschke, Stefan; Küchler, Uwe (2000). Coherent Risk Measures, Valuation Bounds, and ( μ , ρ {\displaystyle \mu ,\rho } )-Portfolio Optimization. 
  2. ↑ Aliprantis y Border, 2006, p. 199–200.
  3. ↑ John Cook (21 de mayo de 1988). «Separation of Convex Sets in Linear Topological Spaces». Consultado el 14 de noviembre de 2012. 
  4. ↑ Nikolaĭ Kapitonovich Nikolʹskiĭ (1992). Functional analysis I: linear functional analysis. Springer. ISBN 978-3-540-50584-6. 
  5. ↑ Schaefer y Wolff, 1999, p. 11.

Bibliografía

  • Aliprantis, Charalambos D.; Border, Kim C. (2006). Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide (Third edición). Berlin: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-29587-7. OCLC 262692874. 
  • Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM 8 (Second edición). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135. 
  • Schechter, Eric (1996). Handbook of Analysis and Its Foundations. San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365. 
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