Volumenarbeit

{\displaystyle \Delta z} — Wenn ein Kolben um ein Wegstück $\Delta z$ gegen einen äußeren Druck $p$ expandiert, leistet er die Volumenarbeit $W_{\rm {1,2}}$ .

Die Volumenarbeit oder Volumenänderungsarbeit ist die an einem geschlossenen System zu leistende Arbeit $W$ , um das Volumen des Systems vom Wert $V_{1}$ auf eines mit dem Wert $V_{2}$ zu verändern:

bei der Volumenverkleinerung $(V_{2}<V_{1})$ durch Kompression wird Kompressionsarbeit geleistet, d. h., dem System zugeführt (in der Abbildung ist dies die Arbeit, die der Kolben an dem im Zylinder enthaltenen Gas verrichtet): $W>0$
bei der Volumenvergrößerung $(V_{2}>V_{1})$ durch Expansion wird Arbeit – d. h. Energie – frei, d. h., vom System abgegeben: $W<0.$

Die Volumenarbeit errechnet sich zu

W_{1,2}=-\int \limits _{s}F(s)\cdot \mathrm {d} s

Hierbei ist $F(s)$ die Kraft, die längs eines Weges $s$ wirkt; dieser wird in Expansionsrichtung positiv gezählt (in der Abbildung entgegen der gezeigten Kompressionskraft $F_{p}$ ).

Das Minuszeichen in der Formel ist eine Konvention; so wird erreicht, dass dem System zugeführte Arbeit wie oben beschrieben positiv ist, freiwerdende Energie dagegen ein negatives Vorzeichen erhält. Bei der dargestellten Kompression hat der zurückgelegte Weg ein negatives Vorzeichen $\left(\mathrm {d} s<0\right),$ welches durch das zusätzliche Minuszeichen in der Formel für die Volumenarbeit kompensiert wird.

Reibungsloser Vorgang

Die reibungsfrei und quasistatisch zugeführte Arbeit ist in dem dargestellten Zylinder mit dem Querschnitt $A$ $\left(\Rightarrow \mathrm {d} s={\frac {\mathrm {d} V}{A}}\right)$

wegen $F=p\cdot A$ (Reibungsfreiheit):

\Rightarrow W_{\mathrm {1,2} }=\int \limits _{V_{1}}^{V_{2}}\delta W=-\int \limits _{V_{1}}^{V_{2}}p\cdot \mathrm {d} V

mit

$\delta W=-pdV$ das inexakte Differential der Volumenarbeit
$p$ : Druck
$\mathrm {d} V$ : Volumenänderung.

Diese Zustandsänderung verläuft im p-V-Diagramm vom Punkt 1 zum Punkt 2, bei der dargestellten Kompression also in negativer Volumenrichtung $\left(\mathrm {d} V<0\right);$ daher hätte die Kompressionsarbeit ohne das Minuszeichen in der Formel ein negatives Vorzeichen.

Der Integralwert, der der Fläche unter dem Zustandsverlauf entspricht, lässt sich berechnen, wenn die Funktion p = f(V) bekannt ist (s. u.).

Reibungsbehafteter Vorgang

Im realen Fall, wenn zwischen dem Kolben und dem Zylinder eine Reibungskraft wirkt, muss beim Komprimieren zusätzlich zur Volumenänderungsarbeit die Reibungsarbeit $W_{R}$ aufgebracht werden. Diese erhöht die innere Energie des Systems und damit den Druck gegenüber dem reibungsfreien Vorgang (wenn sie nicht durch Kühlung als Wärme nach außen abgeführt wird):

{p_{2}}'>p_{2}

Im p-V-Diagramm verläuft die Zustandsänderung nun vom Punkt 1 zum Punkt 2’. Das heißt, dass auch die Volumenänderungsarbeit, die der Fläche unter dem Verlauf entspricht, größer wird, ohne dass darin die Reibungsarbeit selbst enthalten ist:

\Rightarrow W_{1,2'}>W_{1,2}

Die von außen aufzubringende Arbeit ist also die Summe aus der nunmehr größeren Volumenänderungsarbeit und der Reibungsarbeit:

W_{\mathrm {ext} }=W_{1,2'}+W_{R}

Berechnungsbeispiel

Angenommen sei die isotherme Expansion eines idealen Gases $\left(T={\text{konst.}}\right).$

Dann lässt sich durch Einsetzen der thermischen Zustandsgleichung idealer Gase:

p(V)=n\cdot R\cdot T\cdot {\frac {1}{V}}

mit

n die Stoffmenge
R die allgemeine Gaskonstante
T die absolute Temperatur

das Integral für die Volumenarbeit lösen:

{\begin{aligned}\Rightarrow W_{\mathrm {1,2} }&=-&n\cdot R\cdot T\cdot \ln {\frac {V_{2}}{V_{1}}}\\&=&n\cdot R\cdot T\cdot \ln {\frac {V_{1}}{V_{2}}}\end{aligned}}

Anhand dieser Gleichung sieht man, dass bei der Expansion eines idealen Gases die Volumenarbeit negativ ist, also Energie frei wird; dies folgt aus dem Logarithmus, der für Zahlen kleiner eins negativ und für Zahlen größer eins positiv ist:

{\begin{aligned}V_{2}>V_{1}\\\Leftrightarrow {\frac {V_{2}}{V_{1}}}>1\\\Leftrightarrow \ln {\frac {V_{2}}{V_{1}}}>0\\\Rightarrow W_{\mathrm {1,2} }<0\end{aligned}}

Statt n·R kann man oben auch m·R_s einsetzen:

n\cdot R=m\cdot R_{\mathrm {s} }

wobei

m die Masse des Stoffes und
R_s seine spezifische Gaskonstante ist.

Offenes System

Wird die Kompression in einem offenen System mit dem Außendruck $p_{0}$ durchgeführt, so muss an tatsächlicher Arbeit

W_{1,2}=p_{0}\cdot (V_{2}-V_{1})

aufgebracht werden, da der Außendruck mit der Fläche multipliziert ebenfalls eine Kraft ergibt. Ist der Außendruck höher als der Innendruck des zu komprimierenden Volumens, so wird dabei Energie gewonnen; ist er geringer, so muss dabei Arbeit geleistet werden.