Prädikatabbildung

Eine Prädikatabbildung ist eine mathematische Funktion, die einen logischen Wahrheitswert (wahr oder falsch) auf die Zahlen 0 oder 1 abbildet. Dadurch können störende Fallunterscheidungen so umgeformt werden, dass die resultierende Funktion in mathematischen Schlussfolgerungen einfacher verwendbar ist.

Die folgende Definition stammt von Kenneth E. Iverson, 1962:

Wenn ${\displaystyle P(n)}$ ein Prädikat ist, dann ist ${\displaystyle [P(n)]}$ folgendermaßen definiert:

${\displaystyle [P(n)]={\begin{cases}1,&{\text{wenn }}P(n){\text{ wahr ist}}\\0,&{\text{wenn }}P(n){\text{ nicht wahr ist}}\end{cases}}}$

D. h., dass diese Abbildung einen logischen Wahrheitswert auf einen in mathematischen Formeln weiterverwendbaren Ganzzahlenwert abbildet, und zwar wird eine wahre Aussage auf eine 1, und eine falsche Aussage auf eine 0 abgebildet (siehe Beispiel). Mit dieser Abbildung kann man nun aus komplexen Formeln mit Fallunterscheidungen eine einzige Formel machen.

Die Fibonaccizahlen sind durch folgende Rekurrenzgleichung definiert:

${\displaystyle f_{n}={\begin{cases}0,&{\text{wenn }}n\leq 0\\1,&{\text{wenn }}n=1\\f_{n-1}+f_{n-2},&{\text{wenn }}n>1\end{cases}}}$

Mit der Abbildung von Iverson kann man diese Rekurrenzgleichung in eine einfache Form überführen:

${\displaystyle f_{n}=(f_{n-1}+f_{n-2})\cdot [n>1]+[n=1]}$

Der Teil ${\displaystyle (f_{n-1}+f_{n-2})}$ entspricht der rekursiven Definition der Fibonaccizahlen. Der Faktor ${\displaystyle [n>1]}$ entfernt für alle Fibonaccizahlen mit einem Index kleiner oder gleich 1 diesen rekursiven Teil. Und ${\displaystyle [n=1]}$ ist genau dann gleich 1, wenn der Index ${\displaystyle n}$ gleich 1 ist. Dadurch wird die Fibonaccizahl mit dem Index 1 gleich 1, und dadurch ist gewährleistet, dass die Fibonaccizahlen mit einem Index größer als 1 auch einen Wert größer als 0 haben.

Mit dieser Formel kann man nun einfacher die geschlossene Formel bestimmen.

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