Hankel-Transformation

Die Hankel-Transformation ist in der Funktionalanalysis, einem Teilgebiet der Mathematik, eine lineare Integraltransformation, welche im Kern auf den Bessel-Funktionen erster Gattung basiert. Sie ist benannt nach dem Mathematiker Hermann Hankel. Anwendungen liegen unter anderem im Bereich der Bildverarbeitung zur Korrektur von Abbildungsfehlern.^[1]

Definition

Bei der Hankel-Transformation gibt es unterschiedliche Konventionen, sie zu definieren. Sei ${\displaystyle f}$ eine komplexwertige Funktion und ${\displaystyle \nu >-{\tfrac {1}{2}}}$. Dann kann man die Hankel-Transformation ${\displaystyle \operatorname {H} _{\nu }}$ der Ordnung ${\displaystyle \nu }$ von ${\displaystyle f}$ durch

${\displaystyle F_{\nu }(u)=\operatorname {H} _{\nu }\{f(t)\}=\int _{0}^{\infty }f(t)\cdot J_{\nu }(ut)\cdot t\,\mathrm {d} t}$

definieren, dabei sind die

${\displaystyle J_{\nu }(x):=\sum _{r=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{r}({\frac {x}{2}})^{2r+\nu }}{\Gamma (\nu +r+1)r!}}}$

Bessel-Funktionen erster Gattung und ${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$ ist die Gammafunktion. Insofern das Integral existiert, nennt man ${\displaystyle \operatorname {H} _{\nu }\{f(t)\}}$ die Hankel-Transformierte von ${\displaystyle f}$. Diese Konvention der Hankel-Transformation wird überwiegend in diesem Artikel verwendet. In einzelnen Abschnitten wird jedoch die im Folgenden dargestellte Variante verwendet, worauf in den entsprechenden Abschnitten hingewiesen wird.

Eine andere Möglichkeit die Hankel-Transformation der Ordnung ${\displaystyle \nu >-{\tfrac {1}{2}}}$ von ${\displaystyle f}$ zu definieren, ist

${\displaystyle F_{\nu }(u)=\operatorname {H} _{\nu }\{f(t)\}=\int _{0}^{\infty }f(t)\cdot {\sqrt {ut}}\cdot J_{\nu }(ut)\,\mathrm {d} t\,.}$

Hier werden mit ${\displaystyle J_{\nu }}$ ebenfalls die Bessel-Funktionen erster Gattung bezeichnet und ${\displaystyle \operatorname {H} _{\nu }\{f(t)\}}$ heißt auch hier Hankel-Transformierte, insofern das Integral existiert.

Inverse Hankel-Transformation

Ähnlich wie bei der Fourier-Transformation ist es auch bei der Hankel-Transformation unter gewissen Umständen möglich, aus der Hankel-Transformierten ihre Ausgangsfunktion zurückzugewinnen. Ein wichtiges Resultat aus der Theorie der Hankel-Transformation besagt, dass, falls ${\displaystyle f\in L^{1}(]0,\infty [)}$ eine Lebesgue-integrierbare Funktion mit beschränkter Variation ist, die Ausgangsfunktion ${\displaystyle f}$ aus der Hankel-Transformierten ${\displaystyle F_{\nu }}$ mit der inversen Integraltransformation

${\displaystyle f(t)=\operatorname {H} _{\nu }^{-1}\{F_{\nu }(u)\}=\int _{0}^{\infty }F_{\nu }(u)\cdot J_{\nu }(ut)\cdot u\,\mathrm {d} u}$

zurückgewonnen werden kann. Die Hankel-Transformation und ihre inverse Transformation sind also gleich. Sie kann daher als involutive Abbildung verstanden werden. Für die alternative Definition gilt diese Aussage analog.

Eigenschaften

Orthogonalität

Die Bessel-Funktionen bilden eine Orthogonalbasis: Es gilt

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }J_{\nu }(ut)\cdot J_{\nu }(u't)\cdot t\,\mathrm {d} t={\frac {\delta (u-u')}{u}}}$

für ${\displaystyle u}$ und ${\displaystyle u'}$ größer 0 und mit ${\displaystyle \delta }$ als der Delta-Distribution.

Algebraisierung des besselschen Differentialoperators

Sei

${\displaystyle B_{\nu }(f):=\left(r^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} r^{2}}}+r{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} r}}+(r^{2}-\nu ^{2})\right)(f)}$

der besselsche Differentialoperator. Für die Bessel-Funktionen gilt also ${\displaystyle B_{\nu }(J_{\nu })=0}$. Mit Hilfe der Hankel-Transformation ist es möglich, diesen Differentialoperator in einen Ausdruck ohne Ableitungen zu überführen. Präzise gilt

${\displaystyle \operatorname {H} _{\nu }(B_{\nu }(f))(s)=-s^{2}\operatorname {H} _{\nu }(f)(s)\,.}$

Dies ist eine zentrale Eigenschaft der Hankel-Transformation zum Lösen von Differentialgleichungen.^[2]

Beziehung zur Fourier-Transformation

Die Hankel-Transformation hat einige Analogien zur Fourier-Transformation. Insbesondere lässt sich die Hankel-Transformierte durch eine zweidimensionale Fourier-Transformation berechnen. Sei dazu ${\displaystyle \phi \colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {C} }$ eine radialsymmetrische Funktion. Das heißt, die Funktion ${\displaystyle f(r,\theta ):=\phi (r\cos(\theta ),r\sin(\theta ))}$ ist unabhängig von ${\displaystyle \theta }$, weshalb sie im Folgenden nur mit dem Parameter ${\displaystyle r}$ notiert wird. Von dieser Funktion ${\displaystyle f}$ wird nun mit Hilfe der Funktion ${\displaystyle \phi }$ und der Fourier-Transformation die Hankel-Transformierte beschrieben.

Um dies zu sehen, wird das Fourier-Integral

${\displaystyle {\mathcal {F}}(\phi )(\xi _{1},\xi _{2})={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{2}}\phi (x,y)e^{-i(x\xi _{1}+y\xi _{2})}\,\mathrm {d} (x,y)}$

von ${\displaystyle \phi }$ in Polarkoordinaten transformiert, was zu

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}(\phi )(s\cos(\sigma ),s\sin(\sigma ))=&{\frac {1}{2\pi }}\int _{r=0}^{\infty }r\int _{\theta =0}^{2\pi }\phi (r\cos(\theta ),r\sin(\theta ))e^{-isr\cos(\theta -\sigma )}\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} r\\=&{\frac {1}{2\pi }}\int _{r=0}^{\infty }rf(r)\int _{\alpha =0}^{2\pi }e^{-isr\cos(\alpha )}\,\mathrm {d} \alpha \,\mathrm {d} r\\=&\int _{r=0}^{\infty }rf(r)J_{0}(sr)\,\mathrm {d} r\end{aligned}}}$

führt. Dies zeigt, dass eine Fourier-Transformation einer radialsymmetrischen Funktion immer der Hankel-Transformation einer entsprechenden Funktion entspricht. Insbesondere ist es möglich, zu einer gegebenen Funktion ${\displaystyle f\colon {]0,\infty [}\to \mathbb {C} }$ eine entsprechende radialsymmetrische Funktion ${\displaystyle \phi }$ zu konstruieren, mit der man durch Fourier-Transformation die Hankel-Transformierte von ${\displaystyle f}$ berechnen kann.

Hankel-Transformation für Distributionen

Ebenfalls wie bei der Fourier-Transformation ist es bei der Hankel-Transformation auf analoge Weise möglich, sie auf Distributionen zu verallgemeinern. Im Gegensatz zur Fourier-Transformation kann die Hankel-Transformationen nicht auf dem Raum der temperierten Distributionen definiert werden. Daher definiert man einen neuen Raum ${\displaystyle H_{\nu }(]0,\infty [)}$ und erklärt die Hankel-Transformation für Distributionen auf seinem Dualraum.

Distributionenraum

Sei ${\displaystyle \nu \in \mathbb {R} }$, dann ist ${\displaystyle H_{\nu }(]0,\infty [)}$ definiert durch

${\displaystyle H_{\nu }(]0,\infty [):=\left\{\phi \in C^{\infty }(]0,\infty [)\left|\forall k,m\in \mathbb {N} _{0}:\sup _{x\in {]0,\infty [}}\left|x^{m}\left({\tfrac {1}{x}}{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)^{k}(x^{-\nu -{\frac {1}{2}}}\phi (x))\right|<\infty \right.\right\}\,.}$

Auf diesem Vektorraum wird zusätzlich eine Topologie in Form eines Konvergenzbegriffs definiert. Eine Folge ${\displaystyle (\phi _{j})\subset H_{\nu }(]0,\infty [)}$ konvergiert genau dann gegen Null, wenn

${\displaystyle \lim _{j\to \infty }\sup _{x\in {]0,\infty [}}\left|x^{m}\left({\tfrac {1}{x}}{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)^{k}(x^{-\nu -{\frac {1}{2}}}\phi _{j}(x))\right|=0}$

für alle ${\displaystyle k,m\in \mathbb {N} _{0}}$ gilt. Durch Bilden des topologischen Dualraums erhält man den Distributionenraum ${\displaystyle H_{\nu }'(]0,\infty [)}$, auf dem man die Hankel-Transformation definieren kann. Beispielsweise sind alle Distributionen mit kompaktem Träger in ${\displaystyle ]0,\infty [}$, wie die Delta-Distribution eine ist, in dem Raum ${\displaystyle H_{\nu }'(]0,\infty [)}$ enthalten.

Hankel-Transformation

Für ${\displaystyle T\in H_{\nu }'(]0,\infty [)}$ ist die Hankel-Transformation für alle ${\displaystyle \phi \in H_{\nu }(]0,\infty [)}$ definiert durch

${\displaystyle \operatorname {H} _{\nu }(T)(\phi ):=T(\operatorname {H} _{\nu }(\phi ))\,.}$

Der Ausdruck ${\displaystyle \operatorname {H} _{\nu }(\phi )}$ ist wieder eine Hankel-Transformation einer Funktion und daher definiert. Aufgrund der Konstruktion des Raums ${\displaystyle H_{\nu }(]0,\infty [)}$ wird hier allerdings die Konvention ${\displaystyle \textstyle \operatorname {H} _{\nu }(\phi )=\int _{0}^{\infty }f(t){\sqrt {ut}}J_{\nu }(ut)\,\mathrm {d} t}$ für die Transformation verwendet.

Wie bei der Fourier-Transformation für Distributionen führt man auch die Hankel-Transformation nicht auf der Distribution selbst aus, sondern sie wird auf der Testfunktion ${\displaystyle \phi }$ berechnet.

Beispiele

Signal ${\displaystyle f(t)\,}$	Hankel-Transformierte ${\displaystyle F_{0}(u):=\operatorname {H} _{0}(f)(u)\,}$
${\displaystyle 1\,}$	${\displaystyle \delta (u)/u\,}$, gültig für ${\displaystyle u\neq 0}$
${\displaystyle 1/t\,}$	${\displaystyle 1/u\,}$
${\displaystyle t\,}$	${\displaystyle -1/u^{3}\,}$
${\displaystyle t^{3}\,}$	${\displaystyle 9/u^{5}\,}$
${\displaystyle t^{m}\,}$	${\displaystyle {\frac {2^{m+1}\Gamma (m/2+1)}{u^{m+2}\Gamma (-m/2)}}\,}$, gültig für ungerades ${\displaystyle m}$
${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {t^{2}+z^{2}}}}\,}$	${\displaystyle {\frac {e^{-u|z|}}{u}}={\sqrt {\frac {2|z|}{\pi u}}}K_{-1/2}(u|z|)\,}$
${\displaystyle {\frac {1}{t^{2}+z^{2}}}\,}$	${\displaystyle K_{0}(uz)\,}$, ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$
${\displaystyle e^{\mathrm {i} at}/t\,}$	${\displaystyle \mathrm {i} /{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}\quad (a>0,u<a)\,}$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}\quad (a>0,u>a)\,}$
${\displaystyle e^{-a^{2}t^{2}/2}\,}$	${\displaystyle {\frac {e^{-u^{2}/(2a^{2})}}{a^{2}}}}$
${\displaystyle -t^{2}f(t)\,}$	${\displaystyle {\frac {d^{2}F_{\nu }}{du^{2}}}+{\frac {1}{u}}{\frac {dF_{\nu }}{du}}}$

In diesem Abschnitt wird mit ${\displaystyle K_{n}(z)}$ die Bessel-Funktionen zweiter Gattung ${\displaystyle n}$-ter Ordnung, mit ${\displaystyle \Gamma }$ die Gammafunktion, mit ${\displaystyle \mathrm {i} }$ die imaginäre Einheit und mit ${\displaystyle \delta }$ wieder die Delta-Distribution bezeichnet. In der Tabelle auf der rechten Seite werden noch zusätzlich einige Paare von Hankel-Transformationen gelistet.^[3]

Die Hyperbel 1/t

Für die Hankel-Transformierte nullter Ordnung von ${\displaystyle {\tfrac {1}{t}}}$ gilt

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {H} _{0}\left({\frac {1}{t}}\right)(s)=&\int _{0}^{\infty }t\cdot {\frac {1}{t}}\cdot J_{0}(st)\mathrm {d} t\\=&\int _{0}^{\infty }J_{0}(st)\,\mathrm {d} t\\=&{\frac {1}{s}}\end{aligned}}}$.

Die Funktion ${\displaystyle {\tfrac {1}{t}}}$ ist also ein Fixpunkt der Hankel-Transformation.

Die Gaußsche Glockenkurve

In diesem Abschnitt wird die Berechnung der Hankel-Transformation von der gaußschen Glockenkurve ${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}$ mit Hilfe der Fourier-Transformation skizziert. Da die Funktion analytisch ist, kann sie auf ${\displaystyle \mathbb {C} \cong \mathbb {R} ^{2}}$ fortgesetzt werden und ist dort sogar radialsymmetrisch. Daher kann die Hankel-Transformierte mit der Fourier-Transformation über ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ berechnet werden. Für die Fourier-Transformation ist ${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}$ ein Fixpunkt, woraus folgt, dass die Hankel-Transformierte von ${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}$ ebenfalls wieder ${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}$ ist. Also ist die gaußsche Glockenkurve ebenfalls ein Fixpunkt der Hankel-Transformation.^[2]

Die Delta-Distribution

In diesem Beispiel wird die Hankel-Transformation nullter Ordnung der Delta-Distribution ${\displaystyle \delta }$ berechnet. Es gilt

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {H} _{0}({\tfrac {1}{u}}\delta _{0})(\phi )=&\operatorname {H} _{0}(\delta _{0})({\tfrac {1}{u}}\phi )=\delta _{0}(\operatorname {H} _{0}({\tfrac {1}{u}}\phi ))=\operatorname {H} _{0}({\tfrac {1}{u}}\phi )(0)\\=&\int _{0}^{\infty }{\tfrac {u}{u}}J_{0}(0)\phi (u)\,\mathrm {d} u\\=&\int _{0}^{\infty }\phi (u)\,\mathrm {d} u\end{aligned}}}$.

Der Ausdruck ${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{\infty }\phi (u)\mathrm {d} u}$ ist als Distribution, die von der konstanten Einsfunktion erzeugt wird, zu verstehen. Im Bereich der Physik notiert man die Delta-Distribution oftmals unpräzise als reellwertige Funktion und nicht als Funktional. In diesem Fall kürzt sich die Berechnung der Hankel-Transformation auf

${\displaystyle \operatorname {H} _{0}({\tfrac {1}{u}}\delta _{0})(t)=\int _{0}^{\infty }\delta (u)\cdot {\frac {1}{u}}\cdot u\cdot J_{0}(tu)\,\mathrm {d} u=J_{0}(0)=1}$.

Möchte man umgekehrt die Hankel-Transformierte der konstanten Einsfunktion berechnen, stößt man beim Einsetzen in die Integraldarstellung auf ein divergentes Integral. Aufgrund von Dichtheitsargumenten ist es trotzdem möglich, die Delta-Distribution als Hankel-Transformierte der konstanten Einsfunktion aufzufassen.

Quellen

• Larry C. Andrews, Bhimsen K. Shivamoggi: Integral Transforms for Engineers. SPIE Press, University of Central Florida, 1999, ISBN 978-0-8194-3232-2, Kapitel 7. 

• Alexander D. Poularikas: The Transforms and Applications Handbook. 2. Auflage. CRC Press, 2000, ISBN 978-0-8493-8595-7, Kapitel 9. 

• L. S. Dube, J. N. Pandey: On the Hankel transform of distributions Tohoku Math. J. (2) Volume 27, Number 3 (1975), 337–354.

Einzelnachweise

1. ↑ Bernd Jähne: Digitale Bildverarbeitung. 6. Auflage. Springer, ISBN 978-3-540-24999-3, S. 219 bis 223. 
2. ↑ ^{a b} Alexander D. Poularikas: The Transforms and Applications Handbook. 2. Auflage. CRC Press, 2000, ISBN 978-0-8493-8595-7, Kapitel 9.4. 
3. ↑ Alexander D. Poularikas: The Transforms and Applications Handbook. 2. Auflage. CRC Press, 2000, ISBN 978-0-8493-8595-7, Kapitel 9.11. 

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Hankel Transform. In: MathWorld (englisch).