Finsler-Mannigfaltigkeit

In der Geometrie sind Finsler-Mannigfaltigkeiten eine Verallgemeinerung riemannscher Mannigfaltigkeiten.

Sie sind nach Paul Finsler benannt.

Definition

Eine Finsler-Mannigfaltigkeit ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ mit einer außerhalb des Nullschnitts glatten Funktion ${\displaystyle F:TM\rightarrow \mathbb {R} }$ so dass für alle ${\displaystyle v,w\in T_{x}M,x\in M}$ gilt:

• ${\displaystyle F(v)\geq 0}$ mit Gleichheit nur für ${\displaystyle v=0}$
• ${\displaystyle F(\lambda v)=\lambda F(v)}$ für alle ${\displaystyle \lambda \geq 0}$
• ${\displaystyle F(v+w)\leq F(v)+F(w)}$.

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle T_{x}M}$ den Tangentialraum der Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ im Punkt ${\displaystyle x\in M}$ und ${\displaystyle TM}$ das Tangentialbündel von ${\displaystyle M,}$ also die disjunkte Vereinigung aller Tangentialräume.

Die Finsler-Mannigfaltigkeit heißt symmetrisch falls ${\displaystyle F(-v)=F(v)}$ für alle ${\displaystyle v\in T_{x}M,x\in M}$ gilt.

Beispiele

• Normierte Vektorräume, wenn die Norm außerhalb des Nullvektors glatt ist.
• Riemannsche Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle (M,g)}$: setze ${\displaystyle F(v)={\sqrt {g(v,v)}}}$.
• Konvexe Mengen ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ mit der Hilbert-Metrik ${\displaystyle d_{\Omega }}$: setze ${\displaystyle F(v)={\frac {d}{dt}}\mid _{t=0}d_{\Omega }(x,x+tv)}$ für ${\displaystyle v\in T_{x}\Omega ,x\in \Omega }$.

Länge und Volumen

Die Länge einer stetig differenzierbaren Kurve ${\displaystyle \gamma :\left[a,b\right]\rightarrow M}$ ist definiert durch

${\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}F(\gamma ^{\prime }(t))dt}$.

Die Volumenform einer ${\displaystyle n}$-dimensionalen Finsler-Mannigfaltigkeit ist wie folgt definiert. Sei ${\displaystyle x\in M}$, ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ eine Basis von ${\displaystyle T_{x}M}$, ${\displaystyle \eta _{1},\ldots ,\eta _{n}}$ die duale Basis. Sei ${\displaystyle V(x)}$ das euklidische Volumen von ${\displaystyle D(x)=\left\{y\in \mathbb {R} ^{n}:F(\sum _{i=1}^{n}y_{i}e_{i})\leq 1\right\}}$. Die Volumenform ist dann gegeben durch

${\displaystyle B_{F}(x)={\frac {C(n)}{V(x)}}\eta _{1}\wedge \ldots \wedge \eta _{n}}$,

wobei ${\displaystyle C(n)}$ das euklidische Volumen der Einheitskugel im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ bezeichnet. Das Busemann-Volumen einer messbaren Menge ${\displaystyle A\subset M}$ ist definiert durch ${\displaystyle \operatorname {vol} (A)=\int _{A}B_{F}(x)}$.

Literatur

• Hanno Rund: Differential Geometry of Finsler Spaces, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer 1959
• Makoto Matsumoto: Foundations of Finsler Geometry and special Finsler Spaces, Kaiseisha Press, Japan 1986
• D. Bao, S. S. Chern, Z. Shen: An introduction to Riemann-Finsler geometry. (= Graduate Texts in Mathematics. 200). Springer-Verlag, New York 2000, ISBN 0-387-98948-X.
• Zhongmin Shen: Lectures on Finsler geometry. World Scientific Publishing, Singapore 2001, ISBN 981-02-4531-9.
• Peter Antonelli (Hrsg.): Handbook of Finsler Geometry, 2 Bände, Kluwer 2003