Die erste Fundamentalform oder metrische Grundform ist in der Mathematik eine Funktion aus der Theorie der Flächen im dreidimensionalen euklidischen Raum, einem Teilgebiet der klassischen Differentialgeometrie. Die erste Fundamentalform ermöglicht unter anderem die Behandlung folgender Aufgaben:
- Berechnung der Länge einer Kurve auf der gegebenen Fläche
- Berechnung des Winkels, unter dem sich zwei Kurven auf der gegebenen Fläche schneiden
- Berechnung des Flächeninhalts eines Flächenstücks der gegebenen Fläche
Ferner lassen sich aus den Koeffizienten der ersten Fundamentalform und ihren partiellen Ableitungen die gaußsche Krümmung (Formel von Brioschi) und die Christoffelsymbole zweiter Art bestimmen.
Diejenigen Eigenschaften einer Fläche, die sich mit Hilfe der ersten Fundamentalform untersuchen lassen, fasst man unter der Bezeichnung innere Geometrie zusammen.
Definition und Eigenschaften
Eine Fläche sei durch eine auf einer offenen Teilmenge
definierte Abbildung
![{\displaystyle X\colon U\to \mathbb {R} ^{3},\quad (u,v)\mapsto X(u,v)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35baefc9fa64e662fa46fb1c931e7d7cb1306acc)
gegeben, also durch
und
parametrisiert. Für den durch die Parameterwerte
und
bestimmten Punkt der Fläche sind die Koeffizienten der ersten Fundamentalform folgendermaßen definiert:
![{\displaystyle E(u,v)=X_{u}(u,v)\cdot X_{u}(u,v)=|X_{u}(u,v)|^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e64204f0a9499c972aa8aa9c1ba9a86bed773690)
![{\displaystyle F(u,v)=X_{u}(u,v)\cdot X_{v}(u,v)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1bc2ebc7d09ce66d566685a518d0e39040aea4b)
![{\displaystyle G(u,v)=X_{v}(u,v)\cdot X_{v}(u,v)=|X_{v}(u,v)|^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb302314be837606697353556b2656b470f053fa)
Dabei sind die Vektoren
![{\displaystyle X_{u}(u,v)={\frac {\partial X}{\partial u}}(u,v)\quad {\text{und}}\quad X_{v}(u,v)={\frac {\partial X}{\partial v}}(u,v)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8078bd8d192dadb679722dc4308b9592a397dcc)
die ersten partiellen Ableitungen nach den Parametern
bzw.
. Die Malpunkte bezeichnen das Skalarprodukt der Vektoren.
Zur Vereinfachung lässt man häufig die Argumente weg und schreibt nur
,
und
für die Koeffizienten. Die erste Fundamentalform ist dann die quadratische Form
,
Gelegentlich wird auch die Schreibweise mit Differentialen verwendet:
![{\displaystyle ds^{2}=E\,du^{2}+2F\,du\,dv+G\,dv^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90b0c06e29a6e83731e65c52923ad76358b73e96)
Eine weitere (modernere) Schreibweise ist:
![{\displaystyle g_{11}=E;\quad g_{12}=g_{21}=F;\quad g_{22}=G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea52346d0c5c76bbdb0354b7b1805f5b6be73076)
Setzt man
und
, so gilt
für
.
Die Zahlen
sind die Koeffizienten des kovarianten metrischen Tensors (d. h. der Gram'schen Matrix der Basis {
} aller vorgenannten Richtungsvektoren). Dieser hat also die Matrixdarstellung
.
Oft bezeichnet man auch diesen Tensor, also die durch diese Matrix dargestellte Bilinearform, als erste Fundamentalform
Für die Koeffizienten der ersten Fundamentalform gilt:
.
Dabei ist
die Diskriminante (also die Determinante der Darstellungsmatrix) der ersten Fundamentalform. Gilt darüber hinaus
, so folgt daraus auch
und
und die erste Fundamentalform ist positiv definit. Dies ist genau dann der Fall, wenn
und
linear unabhängig sind. Eine Fläche mit positiv definiter erster Fundamentalform heißt differentialgeometrisch regulär oder differentialgeometrisch regulär parametrisiert.
Länge einer Flächenkurve
Eine Kurve auf der gegebenen Fläche lässt sich ausdrücken durch zwei reelle Funktionen
und
: Jedem möglichen Wert des Parameters
wird der auf der Fläche gelegene Punkt
zugeordnet. Sind alle beteiligten Funktionen stetig differenzierbar, so gilt für die Länge des durch
festgelegten Kurvenstücks:
![{\displaystyle l=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {I({\dot {\varphi }}_{1}(t),{\dot {\varphi }}_{2}(t))}}\,dt=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {E\cdot ({\dot {\varphi }}_{1}(t))^{2}+2F\cdot {\dot {\varphi }}_{1}(t){\dot {\varphi }}_{2}(t)+G\cdot ({\dot {\varphi }}_{2}(t))^{2}}}\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4abe2684f09916ab299025ca1d1f7b4b61af7a9)
Mit Hilfe des Wegelements
ausgedrückt:
![{\displaystyle l=\int _{\varphi }ds}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e0752a4b8ae2d3901ca63c700a40c037f19117a)
Inhalt eines Flächenstücks
Der Inhalt eines durch einen Parameterbereich
gegebenen Flächenstücks lässt sich berechnen durch
.
Beispiel Kugeloberfläche
Die Oberfläche einer Kugel mit Radius
lässt sich in sphärischen Koordinaten parametrisieren durch
.
Für die Koeffizienten der ersten Fundamentalform ergibt sich:
![{\displaystyle E=X_{u}(u,v)\cdot X_{u}(u,v)={\begin{pmatrix}r\cos u\cos v\\r\cos u\sin v\\-r\sin u\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}r\cos u\cos v\\r\cos u\sin v\\-r\sin u\end{pmatrix}}=r^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ef728b115a3f9efc4e36b116136edc4b12db916)
![{\displaystyle F=X_{u}(u,v)\cdot X_{v}(u,v)={\begin{pmatrix}r\cos u\cos v\\r\cos u\sin v\\-r\sin u\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-r\sin u\sin v\\r\sin u\cos v\\0\end{pmatrix}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c1ab84b0d8f8b9ffc1cfdcac12b27b0edbe896f)
![{\displaystyle G=X_{v}(u,v)\cdot X_{v}(u,v)={\begin{pmatrix}-r\sin u\sin v\\r\sin u\cos v\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-r\sin u\sin v\\r\sin u\cos v\\0\end{pmatrix}}=r^{2}\sin ^{2}u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91e78d015cd4731bab30186935b999233112b58f)
Die erste Fundamentalform ist demnach
.
Spezialfall Graph einer Funktion
Ist die betrachtete Fläche der Graph einer Funktion
über dem Parameterbereich
, also
für alle
, so gilt:[1]
![{\displaystyle X_{u}(u,v)=(1,0,f_{u}),\quad X_{v}(u,v)=(0,1,f_{v})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa7ac2603a6b7398b0475b0345a48f6b381696d9)
und damit
![{\displaystyle E=1+f_{u}^{2},\quad F=f_{u}f_{v},\quad G=1+f_{v}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a99e0532b0eae2c2a58ca28f982a7565313a024)
und
.
Hierbei bezeichnen
und
die partiellen Ableitungen von
nach
bzw.
.
Siehe auch
Einzelnachweise
- ↑ A. Hartmann: Flächen, Gauß-Krümmung, erste und zweite Fundamentalform, theorema egregium. (PDF; 1,1 MB) Seite 6, Beweis zu Satz 3.4. In: uni-math.gwdg.de. 12. April 2011, archiviert vom Original (nicht mehr online verfügbar) am 17. Mai 2017; abgerufen am 7. April 2024.
Literatur
- Manfredo Perdigão do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice-Hall Inc., Upper Saddle River NJ 1976, ISBN 0-13-212589-7.