Singularita (matematika)

Singularita je v matematice obecný název bodu, ve kterém daný matematický objekt není definován, nebo kde se objekt nechová v jistém smyslu rozumně — například není diferencovatelný. Například funkce ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ má na množině reálných čísel singularitu v bodě ${\displaystyle x=0}$, kde diverguje k nekonečnu a není zde definovaná, a funkce ${\displaystyle f(x)=\mathrm {abs} (x)}$ má také na množině reálných čísel singularitu v bodě ${\displaystyle x=0}$, protože zde nemá derivaci. Body, v nichž funkce není singulární, se označují jako regulární.

Izolované singularity

V komplexní analýze je singularita bod, ve kterém funkce není komplexně diferencovatelná. Singularity hrají v komplexní analýze obzvláště významnou roli díky tomu, že Taylorovy nebo obecněji Laurentovy řady kolem daného bodu konvergují na kruhu nebo mezikruží až po nejbližší singularitu. Krom toho v singulárním bodě může mít funkce reziduum, což se významně projeví na chování křivkových integrálů kolem tohoto bodu. Významnou roli mají především singularity izolované, kolem kterých existuje takové okolí, že v něm nejsou další singularity. Formálněji řečeno, má-li funkce ${\displaystyle f}$ v bodě ${\displaystyle z_{0}}$ singularitu a existuje-li prstencové okolí bodu ${\displaystyle z_{0}}$, na němž je ${\displaystyle f}$ holomorfní, pak se bod ${\displaystyle z_{0}}$ nazývá izolovaná singularita.

Podle limitního chování funkce ${\displaystyle f}$ v singularitě se izolované singularity se dělí na odstranitelné, podstatné a póly.

Odstranitelná singularita

Má-li funkce ${\displaystyle f}$ v bodě ${\displaystyle z_{0}}$ singularitu a existuje-li limita ${\displaystyle \lim _{z\rightarrow z_{0}}f(z)<\infty }$, potom je tato singularita odstranitelná. Přitom platí:

• dodefinujeme-li ${\displaystyle f}$ v bodě ${\displaystyle z_{0}}$ uvedenou limitou, je tato funkce v bodě ${\displaystyle z_{0}}$ holomorfní;
• existuje kolem bodu ${\displaystyle z_{0}}$ Taylorova řada pro ${\displaystyle f}$ stejnoměrně konvergentní po nejbližší další singularitu.

Podstatná singularita

Má-li funkce ${\displaystyle f}$ v bodě ${\displaystyle z_{0}}$ singularitu a limita ${\displaystyle \lim _{z\rightarrow z_{0}}f(z)}$ neexistuje, potom má ${\displaystyle f}$ v bodě ${\displaystyle z_{0}}$ podstatnou singularitu. V takovém případě má Laurentova řada kolem ${\displaystyle z_{0}}$ nekonečně mnoho členů v hlavní části. Typickým příkladem takovéto singularity je singularita funkce ${\displaystyle \exp({-{\frac {1}{z^{2}}}})}$ v bodě ${\displaystyle z=0}$.

Pól n-tého řádu

Má-li funkce ${\displaystyle f}$ v bodě ${\displaystyle z_{0}}$ singularitu a existuje-li limita ${\displaystyle \lim _{z\rightarrow z_{0}}f(z)=\infty ,}$, pak platí, že existuje (přirozené) číslo ${\displaystyle n}$ takové, že ${\displaystyle \lim _{z\rightarrow z_{0}}\left(z-z_{0}\right)^{n}f(z)<\infty }$. Potom ${\displaystyle f}$ má v ${\displaystyle z_{0}}$ pól ${\displaystyle n}$-tého řádu. Pól ${\displaystyle n}$-tého řádu znamená, že funkce ${\displaystyle f}$ se v okolí ${\displaystyle z_{0}}$ chová podobně jako nějaký nenulový násobek funkce ${\displaystyle (z-z_{0})^{-n}}$. Pokud je v ${\displaystyle z_{0}}$ pól, dá se kolem ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle f}$ rozvinout do Laurentovy řady, která bude mít právě ${\displaystyle n}$ členů ve své hlavní části. Pól prvního řádu se často označuje jako jednoduchý.

Literatura

• VESELÝ, Jiří. Komplexní analýza pro učitele [online]. Praha: 10. 2. 2013 [cit. 2019-09-26]. Dostupné online. ISBN 80-246-0202-4.