Relace (matematika)

Jako relaci nebo n-ární relaci nazveme v matematice libovolný vztah mezi skupinou prvků jedné nebo více množin. Ve většině případů je tímto označením myšlena binární relace.

Definice

$n$ -ární relací mezi množinami $A_{1},A_{2},A_{3},\ldots ,A_{n}$ , kde $n\in N$ , rozumíme libovolnou podmnožinu kartézského součinu $n$ množin.

$n$ -ární relací na množině $A$ je tedy libovolná množina $R$ uspořádaných $n$ -tic, přičemž $R\subseteq A^{n}$ .

Klasifikace

Relace lze rozdělit podle počtu množin kartézského součinu následovně:

Unární relací nazveme každou podmnožinu množiny $M$ .
Binární relací nazveme každou množinu uspořádaných dvojic $[x,y]\in M^{2}$ .
Ternární relací nazveme každou množinu uspořádaných trojic $[x,y,z]\in M^{3}$ .
ostatní relace jsou označovány buď souhrnným názvem n-ární relace nebo konkrétně podle vzoru:
kvartární, pentární, sextární, septární, oktární, nonární atp.

Příklady

unární relace

je kladné (záporné) číslo
je (ne)pravdivý výrok

binární relace

shodnost
podobnost
graf jakékoliv zobrazení $f:A\to B$ je relací $(a$ $R$ $b)$ $\Leftrightarrow f(a)=b$ .
neostré uspořádání (reflexivní, slabě antisymetrická, tranzitivní binární relace):
- dělitelnost
- je (neostře) větší než (≥)
- je podmnožinou
ekvivalence (reflexivní, symetrická a tranzitivní):
- rovnoběžnost
- má stejnou barvu jako
ostré uspořádání (antireflexivní, silně antisymetrická a tranzitivní):
- je (ostře) větší než (>)
- je starší než