Pauliho matice

Pauliho matice jsou množina 2 × 2 komplexních hermiteovských a unitárních matic. Obvykle jsou označovány řeckým písmenem 'sigma' (σ), popř. se používá 'tau' (τ), pokud jsou uváděny ve spojitosti s izospinem. Matice mají tvar:

\sigma _{1}=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}

\sigma _{2}=\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}

\sigma _{3}=\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}

Nesou jméno Wolfganga Pauliho.

Algebraické vlastnosti

\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I

kde $I$ označuje jednotkovou matici.

Determinanty a stopy Pauliho matic jsou:

{\begin{matrix}\det(\sigma _{i})&=&-1&\\[1ex]\operatorname {Tr} (\sigma _{i})&=&0&\quad {\hbox{ pro }}\ i=1,2,3\end{matrix}}

Z předchozího lze odvodit, že vlastní hodnoty každé σ_i jsou ±1.

Společně s jednotkovou maticí I, která bývá někdy zapisována jako σ₀, tvoří Pauliho matice ortogonální bázi vůči Hilbertově–Schmidtově normě na Hilbertově prostoru reálných 2 × 2 hermitovských matic, ${\mathcal {H}}_{2}(\mathbb {C} )$ , případně Hilbertově prostoru komplexních 2 × 2 matic, ${\mathcal {M}}_{2,2}(\mathbb {C} )$ .

Komutační relace

Pauliho matice vyhovují následujícím komutačním a antikomutačním relacím:

{\begin{matrix}[\sigma _{i},\sigma _{j}]&=&2i\,\varepsilon _{ijk}\,\sigma _{k}\\[1ex]\{\sigma _{i},\sigma _{j}\}&=&2\delta _{ij}\cdot I\end{matrix}}

kde $\varepsilon _{ijk}$ je Levi-Civitův symbol, $\delta _{ij}$ je Kroneckerovo delta a I je jednotková matice.

Předchozí dvě relace lze vyjádřit ve tvaru:

\sigma _{i}\sigma _{j}=\delta _{ij}\cdot I+i\varepsilon _{ijk}\sigma _{k}\,

Např.

{\begin{matrix}\sigma _{1}\sigma _{2}&=&i\sigma _{3},\\\sigma _{2}\sigma _{3}&=&i\sigma _{1},\\\sigma _{2}\sigma _{1}&=&-i\sigma _{3},\\\sigma _{1}\sigma _{1}&=&\sigma _{2}\sigma _{2}&=&\sigma _{3}\sigma _{3}&=&I.\\\end{matrix}}

Další relace

Např.

{\begin{matrix}\sigma _{1}\sigma _{1}^{T}&=&\sigma _{1}^{T}\sigma _{1}&=&I,\\\sigma _{2}\sigma _{2}^{T}&=&\sigma _{2}^{T}\sigma _{2}&=&-I,\\\sigma _{3}\sigma _{3}^{T}&=&\sigma _{3}^{T}\sigma _{3}&=&I,\\\end{matrix}}

kde index $T$ značí transponování matice.

Fyzika

V kvantové mechanice představuje každá Pauliho matice pozorovatelnou popisující orientaci spinu částice se spinem ½ v třírozměrném prostoru. Matice $\mathrm {i} \sigma _{j}$ představují generátory rotací pro nerelativistické částice se spinem ½. Kvantový stav částice je představován dvoukomponentovým spinorem. Částice se spinem ½ mají tu vlastnost, že musí být otočeny o úhel $4\pi$ , aby se vrátily do svého původního stavu.

Pro částice se spinem ½ je operátor spinu určen jako $\mathbf {J} ={\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol {\sigma }}$ . Pauliho matice mohou být zobecněny k popisu částic s vyššími hodnotami spinu ve třírozměrném prostoru. Spinové matice pro spin $1$ a ${\frac {3}{2}}$ mají tvar: