Ericssonův–Braytonův cyklus

Ericssonův-Braytonův cyklus nebo Ericssonův-Braytonův oběh je ideální tepelný oběh sestávající z vratných změn. Ericssonův-Braytonův cyklus popisuje práci turbíny, kde přívod a odvod tepla je uskutečňován při konstantním tlaku. Takové přiblížení je možné použít pro stejnotlakou plynovou turbínu nebo spalovací turbínu.

Diagram Eriksonova-Braytonova cyklu

Znázornění Ericssonova-Braytonova cyklu v pV diagramu.

Jednotlivé fáze Ericssonovho-Braytonova cyklu znázorňuje diagram vyjadřující závislost tlaku na objemu (pV diagram). Zanesením všech čtyř fází cyklu do jednoho diagramu získáme oblast ohraničenou dvěma adiabatami a dvěma izobarami. Obsah této oblasti odpovídá práci vykonané strojem.

A ≡ Q p − Q o {\displaystyle A\equiv Q_{p}-Q_{o}}

Odvození účinnosti Eriksonova-Braytonova cyklu

Předchozí vzorec vyplývá z užití prvního termodynamického zákona na jednotlivé děje v cyklu:

  • křivka mezi body 1 a 2 – adiabatická komprese
Δ U 12 = − W 12 ; Q 12 = 0 {\displaystyle \Delta U_{12}=-W_{12};Q_{12}=0}
  • křivka mezi body 2 a 3 – izobarický přívod tepla (expanze)
Δ U 23 = − Q p + W 23 {\displaystyle \Delta U_{23}=-Q_{p}+W_{23}}
  • křivka mezi body 3 a 4 – adiabatická expanze
Δ U 34 = W 34 ; Q 34 = 0 {\displaystyle \Delta U_{34}=W_{34};Q_{34}=0}
  • křivka mezi body 4 a 1 – izobarický odvod tepla (komprese)
Δ U 41 = Q o − W 14 {\displaystyle \Delta U_{41}=Q_{o}-W_{14}}

Přičemž při kompresi má práce, kterou koná stroj záporné znaménko a při expanzi kladné. Sečtením předchozích čtyř rovnic získáme:

0 = Δ U c y k l u = Q c y k l u + W c y k l u = − Q p + Q a + A {\displaystyle 0=\Delta U_{cyklu}=Q_{cyklu}+W_{cyklu}=-Q_{p}+Q_{a}+A}

Práce A strojem vykonaná v jednom cyklu, je také plochou ohraničenou v pV diagramu. Změna vnitřní energie během cyklu musí být nulová, protože U je stavová veličina. Veličinu A spočteme poněkud komplikovaně pomocí plochy pod křivkou v pV diagramu:

A = − W 12 + W 23 + W 34 − W 14 {\displaystyle A=-W_{12}+W_{23}+W_{34}-W_{14}} ,

kde

W 12 = ∫ V 2 V 1 p ( V ) d V = ∫ V 2 V 1 p 2 V 2 k V − k d V = p 2 V 2 k 1 k + 1 ( V 1 − k + 1 − V 2 − k + 1 ) {\displaystyle W_{12}=\int \limits _{V_{2}}^{V_{1}}p(V)dV=\int \limits _{V_{2}}^{V_{1}}p_{2}V_{2}^{k}V^{-k}dV=p_{2}V_{2}^{k}{\frac {1}{k+1}}(V_{1}^{-k+1}-V_{2}^{-k+1})}
W 34 = ∫ V 3 V 4 p 2 V 3 k V − k d V = p 2 V 3 k 1 k + 1 ( V 4 − k + 1 − V 3 − k + 1 ) {\displaystyle W_{34}=\int \limits _{V_{3}}^{V_{4}}p_{2}V_{3}^{k}V^{-k}dV=p_{2}V_{3}^{k}{\frac {1}{k+1}}(V_{4}^{-k+1}-V_{3}^{-k+1})}
W 23 = p 2 . ( V 3 − V 2 ) {\displaystyle W_{23}=p_{2}.(V_{3}-V_{2})}
W 14 = p 1 . ( V 4 − V 1 ) {\displaystyle W_{14}=p_{1}.(V_{4}-V_{1})} ,

kde tlak p 2 {\displaystyle p_{2}} přísluší bodům 2, 3 a p 1 {\displaystyle p_{1}} bodům 1 a 4. Symbol k {\displaystyle k} označuje Poissonovu konstantu.

Dodané teplo vtpočítáme jako:

Q p = C V . ( T 3 − T 2 ) + p 2 ( V 3 − V 2 ) = C P R p 2 ( V 3 − V 2 ) {\displaystyle Q_{p}=C_{V}.(T_{3}-T_{2})+p_{2}(V_{3}-V_{2})={\frac {C_{P}}{R}}p_{2}(V_{3}-V_{2})} ,

přičemž jsme užili stavovou rovnici ideálního plynu a Mayerův vztah. Účinnost nakonec po dlouhých úpravách spočítáme:

η = A Q p = 1 − V 2 k − 1 V 1 k − 1 {\displaystyle \eta ={\frac {A}{Q_{p}}}=1-{\frac {V_{2}^{k-1}}{V_{1}^{k-1}}}}

Účinnost Eriksonova-Braytonova cyklu

Účinnost Ericssonova-Braytonova cyklu závisí pouze na

  • kompresním poměru, tj. poměru objemu ve stavu 1 k objemu ve stavu 2 (ε)
  • exponentu adiabaty – Poissonově konstantě (k)
η = 1 − 1 ϵ k − 1 = 1 − ϵ 1 − k {\displaystyle \eta =1-{\frac {1}{\epsilon ^{k-1}}}=1-\epsilon ^{1-k}}

odvození účinnosti Ericssonova-Braytonova cyklu.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Ericssonov-Braytonov cyklus na slovenské Wikipedii.

Externí odkazy

  • Logo Wikimedia Commons Obrázky, zvuky či videa k tématu Ericssonův-Braytonův cyklus na Wikimedia Commons