Topologia traça

Sigui ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})\,}$ un espai topològic, i ${\displaystyle Y\subset X}$. Es defineix la topologia traça (també topologia de subespai o topologia induïda) sobre ${\displaystyle Y}$, com la topologia menys fina que fa contínua a la injecció canònica: ${\displaystyle i:Y\longrightarrow X}$, tal que ${\displaystyle i(y)=y,\forall y\in Y}$. Es denota per ${\displaystyle {\mathcal {T}}|_{Y}}$, i es prova que ${\displaystyle {\mathcal {T}}|_{Y}=\{Y\cap A:A\in {\mathcal {T}}\}}$. A més a més, si l'aplicació ${\displaystyle i:Y\hookrightarrow X}$ és oberta, es diu que ${\displaystyle Y}$ és un subespai obert, i que ${\displaystyle Y}$ és un subespai tancat si ${\displaystyle i:Y\hookrightarrow X}$ és tancada.

Exemples

• La topologia traça de ${\displaystyle \mathbb {N} }$ com a subespai de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ amb la topologia ordinària és la topologia discreta.

Propietats

Propietats de la topologia traça sobre un subespai ${\displaystyle Y\subseteq X}$:^[1]

• Un conjunt ${\displaystyle U'\subseteq Y}$ és obert en la topologia ${\displaystyle {\mathcal {T}}|_{Y}}$ si, i només si, existeix un obert ${\displaystyle U\in {\mathcal {T}}}$ tal que ${\displaystyle U'=Y\cap U}$.
• Un conjunt ${\displaystyle U'\subseteq Y}$ és tancat en la topologia ${\displaystyle {\mathcal {T}}|_{Y}}$ si, i només si, existeix un tancat ${\displaystyle U}$ de ${\displaystyle X}$ tal que ${\displaystyle U'=Y\cap U}$.
• Si ${\displaystyle B\subseteq Y\subseteq X}$, llavors ${\displaystyle {\mathcal {T}}|_{B}=({\mathcal {T}}|_{Y})|_{B}}$.
• Si ${\displaystyle Y}$ és un subespai obert de ${\displaystyle X}$, un conjunt ${\displaystyle U'\subseteq Y}$ és obert en ${\displaystyle Y}$ si, i només si, és obert en ${\displaystyle X}$.
• Si ${\displaystyle Y}$ és un subespai tancat de ${\displaystyle X}$, un conjunt ${\displaystyle U'\subseteq Y}$ és tancat en ${\displaystyle Y}$ si, i només si, és tancat en ${\displaystyle X}$.

Propietats hereditàries

Una propietat topològica ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ es diu que és hereditària si els subespais d'un espai topològic que cumpleix ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ també cumpleixen ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$.

Exemples de propietats que són hereditàries:^[2]

• Els axiomes de separació T₀, T₁ i T₂ (Hausdorff).
• El primer i segon axioma de numerabilitat.
• Ser metritzable.

La compacitat i la propietat de ser normal són exemples de propietats que no són hereditàries. Els subespais oberts hereden la separabilitat i els subespais tancats hereden la propietat de ser de Lindelöf.

Bibliografia

• Bourbaki, Nicolas, Elements of Mathematics: General Topology, Addison-Wesley (1966)
• Willard, Stephen. General Topology, Dover Publications (2004) ISBN 0-486-43479-6

Enllaços externs

• The subspace topology, a Metric and Topological Spaces. (anglès)
• Exemples de subespais en Topologia induïda (subespai) (castellà)

Referències