Potencial de Bessel

En matemàtiques, el potencial de Bessel és un potencial (anomenat així en honor de Friedrich Wilhelm Bessel) similar al potencial de Riesz, però amb millors propietats de decaïment a l'infinit.

Si ${\displaystyle s}$ és un nombre complex amb una part real positiva, aleshores el potencial Bessel de l'ordre ${\displaystyle s}$ és l'operador

${\displaystyle (I-\Delta )^{-s/2}}$

on Δ és l'operador de Laplace i la potència fraccional es defineix mitjançant les transformacions de Fourier.

Els potencials de Yukawa són casos particulars de potencials de Bessel per a ${\displaystyle s=2}$ en espais tridimensionals.

Representació a l'espai de Fourier

El potencial Bessel actua multiplicant les transformacions de Fourier; per a cada una ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}((I-\Delta )^{-s/2}u)(\xi )={\frac {{\mathcal {F}}u(\xi )}{(1+4\pi ^{2}\vert \xi \vert ^{2})^{s/2}}}.}$

Representacions integrals

Quan ${\displaystyle s>0}$, el potencial de Bessel a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ es pot representar com

${\displaystyle (I-\Delta )^{-s/2}u=G_{s}\ast u,}$

on el nucli de Bessel ${\displaystyle G_{s}}$ es defineix per a ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}\setminus \{0\}}$ per la fórmula integral^[1]

${\displaystyle G_{s}(x)={\frac {1}{(4\pi )^{s/2}\Gamma (s/2)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {\pi \vert x\vert ^{2}}{y}}-{\frac {y}{4\pi }}}}{y^{1+{\frac {d-s}{2}}}}}\,\mathrm {d} y.}$

Aquí, ${\displaystyle \Gamma }$ denota la funció gamma. El nucli de Bessel també es pot representar per a ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}\setminus \{0\}}$ com^[2]

${\displaystyle G_{s}(x)={\frac {e^{-\vert x\vert }}{(2\pi )^{\frac {d-1}{2}}2^{\frac {s}{2}}\Gamma ({\frac {s}{2}})\Gamma ({\frac {d-s+1}{2}})}}\int _{0}^{\infty }e^{-\vert x\vert t}{\Big (}t+{\frac {t^{2}}{2}}{\Big )}^{\frac {d-s-1}{2}}\,\mathrm {d} t.}$

Asímptotes

A l'origen, s'obté ${\displaystyle \vert x\vert \to 0}$,^[3]

${\displaystyle G_{s}(x)={\frac {\Gamma ({\frac {d-s}{2}})}{2^{s}\pi ^{s/2}\vert x\vert ^{d-s}}}(1+o(1))\quad {\text{ si }}0<s<d,}$

${\displaystyle G_{d}(x)={\frac {1}{2^{d-1}\pi ^{d/2}}}\ln {\frac {1}{\vert x\vert }}(1+o(1)),}$

${\displaystyle G_{s}(x)={\frac {\Gamma ({\frac {s-d}{2}})}{2^{s}\pi ^{s/2}}}(1+o(1))\quad {\text{ si }}s>d.}$

En particular, quan ${\displaystyle 0<s<d}$ el potencial Bessel es comporta asimptòticament com el potencial de Riesz.

A l'infinit, s'obté ${\displaystyle \vert x\vert \to \infty }$,^[4]

${\displaystyle G_{s}(x)={\frac {e^{-\vert x\vert }}{2^{\frac {d+s-1}{2}}\pi ^{\frac {d-1}{2}}\Gamma ({\frac {s}{2}})\vert x\vert ^{\frac {d+1-s}{2}}}}(1+o(1)).}$

Referències

Bibliografia

• Aronszajn, N.; Smith, K. T «Theory of Bessel potentials I» (en anglès). Ann. Inst. Fourier, 11, 1961.
• Duduchava, R. Michiel Hazewinkel (ed.). Bessel potential operator. Encyclopedia of Mathematics (en anglès). Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Grafakos, Loukas «Modern Fourier analysis» (en anglès). Springer-Verlag [Berlin, New York], 250, 2009. DOI: 10.1007/978-0-387-09434-2.
• Hedberg, L.I. Michiel Hazewinkel (ed.). Bessel potential space. Encyclopedia of Mathematics (en anglès). Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Solomentsev, E.D. Michiel Hazewinkel (ed.). B/b015870. Encyclopedia of Mathematics (en anglès). Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Stein, Elias «Singular integrals and differentiability properties of functions» (en anglès). Princeton University Press [Princeton, NJ], 1970.