Nombre complex dividit

En àlgebra, un nombre complex dividit (o nombre hiperbòlic, també nombre perplex, nombre doble) es basa en una unitat hiperbòlica j que satisfà j 2 = 1. {\displaystyle j^{2}=1.} Un nombre complex dividit té dues components reals x i y, i s'escriu z = x + y j . {\displaystyle z=x+yj.} El conjugat de z és z ∗ = x − y j . {\displaystyle z^{*}=x-yj.} Des que j 2 = 1 , {\displaystyle j^{2}=1,} el producte d'un nombre z amb el seu conjugat és N ( z ) := z z ∗ = x 2 − y 2 , {\displaystyle N(z):=zz^{*}=x^{2}-y^{2},} una forma quadràtica isòtropa.[1]

Definició

Un nombre complex dividit és un parell ordenat de nombres reals, escrits en la forma[2]

z = x + j y {\displaystyle z=x+jy}
on x i y són nombres reals i la unitat hiperbòlica j compleix
j 2 = + 1 {\displaystyle j^{2}=+1}
En el camp dels nombres complexos la unitat imaginària i compleix i 2 = − 1. {\displaystyle i^{2}=-1.} El canvi de signe distingeix els nombres complexos dividits dels complexos ordinaris. La unitat hiperbòlica j no és un nombre real sinó una quantitat independent.

La col·lecció de totes aquestes z s'anomena pla del complex dividit . La suma i la multiplicació de nombres complexos dividits es defineixen per

( x + j y ) + ( u + j v ) = ( x + u ) + j ( y + v ) ( x + j y ) ( u + j v ) = ( x u + y v ) + j ( x v + y u ) . {\displaystyle {\begin{aligned}(x+jy)+(u+jv)&=(x+u)+j(y+v)\\(x+jy)(u+jv)&=(xu+yv)+j(xv+yu).\end{aligned}}}
Aquesta multiplicació és commutativa, associativa i es distribueix per suma.

Corba blava: hipèrbola unitària.Corba verda: hipèrbola conjugada.Línies vermelles: assímptomes

Forma conjugada, mòdul i bilineal

Igual que per als nombres complexos, es pot definir la noció de conjugat de complex dividit . Si

z = x + j y   , {\displaystyle z=x+jy~,}
aleshores el conjugat de z es defineix com

z ∗ = x − j y   . {\displaystyle z^{*}=x-jy~.}

Geometria

L'anàleg de la fórmula d'Euler per als nombres complexos dividits és

exp ⁡ ( j θ ) = cosh ⁡ ( θ ) + j sinh ⁡ ( θ ) . {\displaystyle \exp(j\theta )=\cosh(\theta )+j\sinh(\theta ).}
Aquesta fórmula es pot derivar d'una expansió de sèries de potències utilitzant el fet que cosh només té poders parells mentre que el de sinh té poders senars. Per a tots els valors reals de l'angle hiperbòlic θ el nombre de complex dividit λ = exp(jθ) té la norma 1 i es troba a la branca dreta de la hipèrbola unitat. Nombres com λ s'han anomenat versors hiperbòlics.[3]

Referències

  1. ↑ «Doing Quantum Physics with Split-Complex Numbers» (en anglès). https://www.math.usm.edu.+[Consulta: 28 maig 2023].
  2. ↑ «How can I define split-complex number?» (en anglès). https://www.mathworks.com,+06-05-2020.+[Consulta: 28 maig 2023].
  3. ↑ «What are the uses of split-complex numbers?» (en anglès). https://math.stackexchange.com,+2013.+[Consulta: 28 maig 2023].