Forma bilineal

Siguin ${\displaystyle V\,}$ i ${\displaystyle W\,}$ objectes matemàtics qualsevol, tots dos amb estructura lineal, l'un per l'esquerra i l'altre per la dreta, sobre un altre objecte ${\displaystyle K}$ amb estructura aritmètica. Típicament ${\displaystyle V\,}$ i ${\displaystyle W\,}$ són dos ${\displaystyle K}$-mòduls, l'un per l'esquerra i l'altre per la dreta, sobre un anell ${\displaystyle K}$, o dos espais vectorials, igualment l'un per l'esquerra i l'altre per la dreta, sobre un cos ${\displaystyle K}$. Una forma bilineal ${\displaystyle \omega }$ és una aplicació

${\displaystyle \omega :V\times W\longrightarrow K\,}$

del producte cartesià dels objectes ${\displaystyle V\,}$ i ${\displaystyle W\,}$ a l'objecte ${\displaystyle K\,}$ que compleix el requeriment de linealitat a les dues components:

${\displaystyle \omega (\lambda x+\mu y,z)=\lambda \omega (x,z)+\mu \omega (y,z)\,,\quad x,y\in V\,,\quad z\in W\,,\quad \lambda ,\mu \in K\,}$

${\displaystyle \omega (x,z\lambda +t\mu )=\omega (x,z)\lambda +\omega (x,t)\mu \,,\quad x\in V\,,\quad z,t\in W\,,\quad \lambda ,\mu \in K\,}$

Notació

Si ${\displaystyle \omega }$ és una forma bilineal i ${\displaystyle x\in V}$ i ${\displaystyle y\in W}$, hom sol usar la notació

${\displaystyle \langle x,y\rangle _{\omega }\,}$

per expressar el valor ${\displaystyle \omega (x,y)\,}$ de la forma ${\displaystyle \omega \,}$ en la parella ${\displaystyle (x,y)\,}$, és a dir, ${\displaystyle \langle x,y\rangle _{\omega }=\omega (x,y)\,}$ i, si en el context no hi ha ambigüitat, hom pot prescindir del símbol que nombra la forma ${\displaystyle \omega }$ :

${\displaystyle \langle x,y\rangle \,}$

Formes bilineals degenerades i no degenerades

Els conjunts

${\displaystyle N_{V}=\left\{x\in V,\forall y\in W,\langle x,y\rangle =0\right\}\,,\quad N_{W}=\left\{y\in W,\forall x\in V,\langle x,y\rangle =0\right\}\,}$

són els submòduls nuls (subespais nuls) de la forma bilineal. Si ${\displaystyle N_{V}=\{0\}\,}$ i ${\displaystyle N_{W}=\{0\}\,}$ aleshores la forma bilineal es diu no degenerada i degenerada en cas contrari. Si la forma és degenerada i ${\displaystyle \pi _{V}:V\longrightarrow V/N_{V}\,}$ i ${\displaystyle \pi _{W}:W\longrightarrow W/N_{W}\,}$ són les respectives projeccions canòniques, la forma bilineal

${\displaystyle {\tilde {\omega }}:V/N_{V}\times W/N_{W}\longrightarrow K\,}$

${\displaystyle \langle \pi _{V}(x),\pi _{W}(y)\rangle =\langle x,y\rangle \,}$

és no degenerada.

Formes bilineals simètriques i alternades

Si ${\displaystyle V=W\,}$ i ${\displaystyle K\,}$ és commutatiu, té sentit definir com a forma bilineal simètrica aquella que compleix

${\displaystyle \langle x,y\rangle =\langle y,x\rangle \,}$

i com a forma bilineal alternada la que compleix

${\displaystyle \forall x\in V,\quad \langle x,x\rangle =0\in K\,}$

Per a una forma bilineal alternada, si ${\displaystyle x,y\in V\,}$, tenim

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x+y\rangle +\langle y,x+y\rangle =\\&=\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle =\\&=\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle \end{aligned}}\,}$

que implica

${\displaystyle \langle x,y\rangle =-\langle y,x\rangle \,}$

En canvi, de l'última igualtat no es pot deduir que ${\displaystyle \langle x,x\rangle =0\,}$, si no és que la característica de ${\displaystyle K\,}$ és diferent de 2: la condició ${\displaystyle \langle x,x\rangle =0\,}$ és, doncs, més restrictiva que la condició ${\displaystyle \langle x,y\rangle =-\langle y,x\rangle }$.

Matriu d'una forma bilineal

Si ${\displaystyle V\,}$ i ${\displaystyle W\,}$ són mòduls lliures finitament generats, o bé, espais vectorials de dimensió finita i ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{V}=\left\{v_{1},\ldots v_{m}\right\}}$ i ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{W}=\left\{w_{1},\ldots w_{n}\right\}}$ en són bases respectives, una forma bilineal ${\displaystyle \omega :V\times V^{\ast }\longrightarrow K\,}$ queda determinada pels ${\displaystyle m\times n}$ valors

${\displaystyle \langle v_{i},w_{j}\rangle _{\omega }\,,\quad i=1,\ldots ,m\,,\quad j=1,\ldots ,n\,}$

Si es disposen aquests ${\displaystyle m\times n}$ valors en una matriu de ${\displaystyle n}$ files i ${\displaystyle m}$ columnes,

${\displaystyle M=\left(\langle v_{i},w_{j}\rangle _{\omega }\right)\,,\quad i=1,\ldots ,m\,,\quad j=1,\ldots ,n\,}$

aleshores el càlcul de ${\displaystyle \langle v,w\rangle _{\omega }}$ és

${\displaystyle \langle v,w\rangle =w^{T}Mv\,}$

on ${\displaystyle w^{T}}$ és el transposat de ${\displaystyle w}$, és a dir, amb les components escrites en una fila, en lloc de en una columna.

En canvi, si la matriu és de ${\displaystyle m}$ files i ${\displaystyle n}$ columnes, és a dir, la matriu transposada de la matriu ${\displaystyle M}$, el càlcul és

${\displaystyle \langle v,w\rangle =v^{T}M^{T}w\,}$

Exemples

L'àrea d'un paral·lelogram

Sigui ${\displaystyle V_{2}}$ l'espai vectorial dels vectors del pla sobre el cos dels nombres reals i sigui ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,}$ una base d'aquest espai. L'aplicació que fa correspondre a cada parella de vectors l'àrea del paral·lelogram que determinen, mesurada tot prenent l'àrea del paral·lelogram que determinen els vectors de la base ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,}$ com a unitat de mesura és una forma bilineal ${\displaystyle V_{2}\times V_{2}\longrightarrow \mathbb {R} }$. Com que, a més, un vector qualsevol i ell mateix determinen un paral·lelogram d'àrea zero, es tracta d'una forma bilineal alternada, que no és altra que el determinant de dos vectors de ${\displaystyle V_{2}}$.

El producte escalar euclidià

El producte escalar en un espai euclidià és una forma bilineal simètrica. En efecte, si escrivim el producte ${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}\,}$ en la forma ${\displaystyle \langle {\vec {x}},{\vec {y}}\rangle \,}$, pròpia de les formes bilineals, les propietats del producte escalar i tenim en compte la commutativitat de ${\displaystyle \mathbb {R} }$,

${\displaystyle (x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z\,,\quad x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z\,}$

${\displaystyle (\lambda x)\cdot y=x\cdot (\lambda y)=\lambda (x\cdot y)\,}$

${\displaystyle x\cdot y=y\cdot z\,}$

obtenim

${\displaystyle \langle x+y,z\rangle =\langle x,z\rangle +\langle y,z\rangle \,,\quad \langle x,(y+z)\rangle =\langle x,y\rangle +\langle x,z\rangle \,}$

${\displaystyle \langle \lambda x,y\rangle =\langle x,\lambda y\rangle =\lambda \langle x,y\rangle \,}$

${\displaystyle \langle x,y\rangle =\langle y,z\rangle \,}$

i és clar que es tracta d'una forma bilineal simètrica.

Còniques i quàdriques

Una quàdrica o superfície quàdrica és una hipersuperfície definida en un espai vectorial n-dimensional pels punts que anul·len un polinomi quadràtic de n variables:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{i}P_{ij}x_{i}x_{j}+\sum _{k=1}^{n}Q_{k}x_{k}+R=0\,}$

L'estudi i la classificació de cada quàdrica se sol fer a partir de l'estudi de la forma bilineal simètrica de matriu

${\displaystyle {\begin{pmatrix}P_{11}&P_{12}/2&\ldots &P_{1n}/2\\P_{21}/2&P_{22}&\ldots &P_{2n}/2\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\P_{n1}/2&P_{n2}/2&\ldots &P_{nn}\end{pmatrix}}\,}$

obtinguda a partir dels coeficients dels termes de segon grau de l'equació de la quàdrica en estudi.

Mòduls o espais duals

Si ${\displaystyle V}$ és un ${\displaystyle >K}$-mòdul i ${\displaystyle V^{\ast }}$ és el seu mòdul dual, l'aplicació

${\displaystyle \omega :V\times V^{\ast }\longrightarrow K\,}$

${\displaystyle \langle x,\varphi \rangle _{\omega }=\langle x,\varphi \rangle \,}$

que a la parella ${\displaystyle (x,\varphi )}$ li fa correspondre el valor ${\displaystyle \langle x,\varphi \rangle }$ de la forma ${\displaystyle \varphi }$ en l'element ${\displaystyle x\in V}$ és òbviament una forma bilineal.

Vegeu també

• Estructures lineals duals.
• El producte escalar en un espai euclidià.