Distribució t multivariant

Distribució t multivariant

Tipus	distribució conjunta, Distribució el·líptica i matrix t-distribution (en)
Notació	${\displaystyle t_{p}(\nu ,{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}$
Paràmetres	${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=(\mu _{1},\dots ,\mu _{p})^{\prime }\in \mathbb {R} ^{p}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$ matriu ${\displaystyle p\times p}$ definida positiva ${\displaystyle \nu \in (0,\infty )}$ graus de llibertat
Suport	${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{p}\!}$
fdp	${\displaystyle {\frac {\Gamma \left[(\nu +p)/2\right]}{\Gamma (\nu /2)\nu ^{p/2}\pi ^{p/2}({\text{det}}{\boldsymbol {\Sigma }})^{1/2}}}\left[1+{\frac {1}{\nu }}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})^{'}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})\right]^{-(\nu +p)/2}}$
Esperança matemàtica	${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$, si ${\displaystyle \nu >1}$
Mediana	${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$
Moda	${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$
Variància	${\displaystyle {\frac {\nu }{\nu -2}}{\boldsymbol {\Sigma }}}$, si ${\displaystyle \nu >2}$
Coeficient de simetria	0

En Teoria de la probabilitat i Estadística, la distribució ${\displaystyle t}$ mutivariable o multivariant és una extensió vectorial de la distribució ${\displaystyle t}$ de Student. Aquesta distribució és una alternativa a la distribució normal multivariable quan apareixen dades atípiques (outliers) o cues pesades, com passa sovint en l'anàlisi de dades financeres. D'altra banda, també és molt utilitzada en estadística bayesiana multivariant com a distribució a priori .^[1]

Definició

Escriurem tots els vectors en columna i per una matriu o vector ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ , escriurem ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}'}$ per designar la seva transposada.

El cas més senzill

Siguin ${\displaystyle Z_{1},\dots ,Z_{p}}$ variables aleatòries independents , totes amb distribució normal estàndard ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$, i sigui ${\displaystyle Q}$ una variable aleatòria amb distribució hki quadrat amb ${\displaystyle \nu >0}$ graus de llibertat, ${\displaystyle Q\sim \chi _{\nu }^{2}}$ , independent de ${\displaystyle Z_{1},\dots ,Z_{p}}$. Definim el vector

$${\displaystyle {\boldsymbol {T}}=(T_{1},\dots ,T_{p})^{\prime }={\frac {1}{\sqrt {Q/\nu }}}\,(Z_{1},\dots ,Z_{p})'.}$$Es diu que ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$ té té una distribució ${\displaystyle t}$ multivariable amb ${\displaystyle \nu }$ graus de llibertat.^[2] Noteu que $${\displaystyle T_{j}={\frac {Z_{j}}{\sqrt {Q/\nu }}},\ j=1,\dots ,p,}$$tenen distribució ${\displaystyle t}$ de Student amb ${\displaystyle \nu }$ graus de llibertat, ${\displaystyle T_{j}\sim t(\nu )}$, però no són independents ja que totes tenen el factor ${\displaystyle Q}$.

En notació vectorial, si escrivim ${\displaystyle {\boldsymbol {Z}}=(Z_{1},\dots ,Z_{p})^{\prime }}$, que és un vector normal multivariable ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{p}({\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {I}}_{p})}$, on ${\displaystyle {\boldsymbol {I}}_{p}}$ és la matriu identitat de dimensió ${\displaystyle p}$, tenim$${\displaystyle {\boldsymbol {T}}={\frac {1}{\sqrt {Q/\nu }}}\,{\boldsymbol {Z}}.\qquad \qquad (1)}$$ Notació: S'escriu ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}\sim {\boldsymbol {t}}_{p}(\nu ,{\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {I}}_{p})}$. La funció de densitat de ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$ és ^[2]

$${\displaystyle f_{\boldsymbol {T}}(x_{1},\dots ,x_{p})={\frac {\Gamma \left[(\nu +p)/2\right]}{\Gamma (\nu /2)\nu ^{p/2}\pi ^{p/2}}}\left(1+{\frac {1}{\nu }}\sum _{j=1}^{p}x_{j}^{2}\right)^{-(\nu +p)/2}.\qquad \qquad (2)}$$

Aquest densitat es troba exactament igual que la de la funció de densitat de la distribució ${\displaystyle t}$ de Student, però fent el canvi de variables${\displaystyle (Z_{1},\dots ,Z_{p},Q)\longrightarrow (T_{1},\dots ,T_{p},Q)}$ i calculant la densitat marginal de ${\displaystyle (T_{1},\dots ,T_{p})}$.

Per a ${\displaystyle p=1}$, l'expressió (2) es redueix a la funció de densitat de la distribució ${\displaystyle t}$ de Student amb ${\displaystyle \nu }$ graus de llibertat.

Estudiem el cas ${\displaystyle p=2}$ . Tenim $${\displaystyle f_{T_{1},T_{2}}(x_{1},x_{2})={\frac {\Gamma \left[(\nu +2)/2\right]}{\Gamma (\nu /2)\nu \,\pi }}\left(1+{\frac {1}{\nu }}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})\right)^{-(\nu +2)/2}.}$$Per construcció, les densitats marginals de ${\displaystyle T_{1}}$ i ${\displaystyle T_{2}}$ són $${\displaystyle f_{T_{1}}(x)=f_{T_{2}}(x)={\frac {\Gamma ((\nu +1)/2)}{\Gamma (\nu /2)\,{\sqrt {\pi \nu }}}}{\Big (}1+{\frac {x^{2}}{\nu }}{\Big )}^{-(\nu +1)/2}.}$$

Per tant, $${\displaystyle f_{T_{1}}(x_{1})\,f_{T_{2}}(x_{2})\neq f_{T_{1},T_{2}}(x_{1},x_{2}),}$$que és coherent amb el fet que ${\displaystyle T_{1}}$ i ${\displaystyle T_{2}}$ no són independents. Però també implica que si ${\displaystyle S_{1}}$ i ${\displaystyle S_{2}}$ són dues variables aleatòries independents ambdues amb distribució ${\displaystyle t_{\nu }}$ , llavors el vector ${\displaystyle (S_{1},S_{2})}$ no té una distribució ${\displaystyle t}$ bivariable, en contrast amb allò que passa amb les variables normals independents. Finalment, noteu que si ${\displaystyle \nu >2}$, llavors ${\displaystyle T_{1}}$ i ${\displaystyle T_{2}}$ tindran moment de segon ordre i $${\displaystyle E[T_{1}]=E[T_{2}]=0,}$$ i $${\displaystyle E[T_{1}T_{2}]=\nu \,E{\Big [}{\frac {1}{Q}}{\Big ]}E[Z_{1}]\,E[Z_{2}]=0,}$$amb la qual cosa ${\displaystyle T_{1}}$ i ${\displaystyle T_{2}}$ estan incorrelacionades

Cas general

Sigui ${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}\sim {\mathcal {N}}_{p}({\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {\Sigma }})}$, on ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$ és una matriu definida positiva (en particular, simètrica i amb determinant diferent de 0) , ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}\in \mathbb {R} ^{p}}$ , i ${\displaystyle Q\sim \chi _{\nu }^{2}}$ , independent de ${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}}$. Aleshores el vector aleatori$${\displaystyle {\boldsymbol {X}}={\frac {1}{\sqrt {Q/\nu }}}\,{\boldsymbol {Y}}+{\boldsymbol {\mu }}\qquad \qquad (3)}$$es diu que té una distribució ${\displaystyle t}$ multivariable amb ${\displaystyle \nu }$ graus de llibertat, amb paràmetres ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$ i ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$ (també es diu que ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$ és el vector de posició i ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$ el paràmetre d'escala ), i s'escriu ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}\sim {\boldsymbol {t}}_{p}(\nu ,{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}$. La funció de densitat és ^[2]

$${\displaystyle f_{\boldsymbol {X}}({\boldsymbol {x}})={\frac {\Gamma \left[(\nu +p)/2\right]}{\Gamma (\nu /2)\nu ^{p/2}\pi ^{p/2}{\sqrt {{\text{det}}\,{\boldsymbol {\Sigma }}}}}}\left[1+{\frac {1}{\nu }}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})'{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})\right]^{-(\nu +p)/2},\qquad \qquad (4)}$$

on ${\displaystyle {\text{det}}\,{\boldsymbol {\Sigma }}}$ és el determinant de la matriu ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$. Quan ${\displaystyle p=1}$, llavors s'obté una distribució ${\displaystyle t}$ amb tres paràmetres.

De les propietats de les distribucions normals multivariables $${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}={\boldsymbol {\Sigma }}^{1/2}\,{\boldsymbol {Z}},\ {\text{en distribució}},}$$on ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{1/2}}$ és l'arrel quadrada de la matriu ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$,^[3] tindrem que $${\displaystyle {\boldsymbol {X}}={\boldsymbol {\Sigma }}^{1/2}{\boldsymbol {T}}+{\boldsymbol {\mu }},\ {\text{en distribució}}.\qquad \qquad (5)}$$D'on es dedueix l'expressió de la densitat (4) a partir de (2) mitjançant la formula de canvi de variables per a vectors aleatoris.

Es important remarcar que aquesta distribució pertany a la família de les distribucions amb simetria el·líptica ^[4]

Propietats

La distribució ${\displaystyle t}$ multivariable comparteix amb la distribució normal multivariable diverses propietats importants.

Distribucions marginals

Sigui ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}\sim {\boldsymbol {t}}_{p}(\nu ,{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}$. Aleshores qualsevol subvector també té una distribució ${\displaystyle t}$ multivariable. Més concretament, per ${\displaystyle q=1,\dots ,p-1}$ i (per simplificar les notacions) prenem ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}_{q}=(X_{1},\dots ,X_{q})^{\prime }}$. Llavors ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}_{q}\sim {\boldsymbol {t}}_{q}(\nu ,{\boldsymbol {\mu }}_{q},{\boldsymbol {\Sigma }}_{qq})}$, on ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{q}=(\mu _{1},\dots ,\mu _{q})}$ i ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{qq}}$ és la submatriu de ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$ obtinguda eliminant les files ${\displaystyle q+1,\dots ,p}$ i les columnes ${\displaystyle q+1,\dots ,p}$. Aquesta propietat es dedueix de la representació (3) del vector ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$.

Transformacions afins

Sigui ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}\sim {\boldsymbol {t}}_{p}(\nu ,{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ una matriu ${\displaystyle p\times p}$ definida positiva (en particular, simètrica) i ${\displaystyle {\boldsymbol {b}}\in \mathbb {R} ^{p}}$. Aleshores $${\displaystyle {\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {X}}+{\boldsymbol {b}}\sim {\boldsymbol {t}}_{p}(\nu ,{\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {\mu }}+{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {B\Sigma B}}).}$$Aquesta propietat es dedueix de la representació (3) i de les propietats dels vectors normals multivariables.

Combinacions lineals de les components

Sigui ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}\sim {\boldsymbol {t}}_{p}(\nu ,{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}$. Considerem una combinació lineal de les seves components $${\displaystyle S={\boldsymbol {a}}'{\boldsymbol {X}}=\sum _{j=1}^{p}a_{j}X_{j},}$$on ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}=(a_{1},\dots ,a_{p})'}$ . Aleshores$${\displaystyle S\sim t(\nu ,{\boldsymbol {a}}'{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {a\Sigma }}{\boldsymbol {a}}'),}$$on aquesta última és una distribució ${\displaystyle t}$ de Student amb 3 paràmetres (graus de llibertat, paràmetre de posició i quadrat del paràmetre d'escala) .

Aquesta propietat també es demostra a partir de les propietats de la distribució normal multivariable.

Distribucions condicionades

Sigui ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}\sim {\boldsymbol {t}}_{p}(\nu ,{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}$ i separem-lo en dues parts ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}_{1}}$ i ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}_{2}}$ de dimensions ${\displaystyle p_{1}}$ i ${\displaystyle p_{2}}$ respectivament, amb ${\displaystyle p_{1}+p_{2}=p}$ , $${\displaystyle {\boldsymbol {X}}={\begin{pmatrix}{\boldsymbol {X}}_{1}\\{\boldsymbol {X}}_{2}\end{pmatrix}}}$$ Partim de la mateixa manera ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$ ,

$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\mu }}_{1}\\{\boldsymbol {\mu }}_{2}\end{pmatrix}},}$$

i la matriu ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$ de la forma $${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}={\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\Sigma }}_{11}&{\boldsymbol {\Sigma }}_{12}\\{\boldsymbol {\Sigma }}_{21}&{\boldsymbol {\Sigma }}_{22}\end{pmatrix}}}$$Aleshores la distribució de ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}_{2}}$ condicionada a ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}_{1}}$ és una distribució ${\displaystyle t}$ multivariable: $${\displaystyle {\boldsymbol {X}}_{2}\,\vert \,{\boldsymbol {X}}_{1}\sim {\boldsymbol {t}}_{p_{2}}{\Big (}\nu +p_{1},\,{\boldsymbol {\mu }}_{2|1},\,{\frac {\nu +d_{1}}{\nu +p_{1}}}\,{\boldsymbol {\Sigma }}_{22|1}{\Big )},}$$on

${\displaystyle d_{1}=({\boldsymbol {X}}_{1}-{\boldsymbol {\mu }}_{1})^{\prime }{\boldsymbol {\Sigma }}_{11}^{-1}({\boldsymbol {X}}_{1}-{\boldsymbol {\mu }}_{1})}$ és el quadrat de la distància de Mahalanobis de ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}_{1}}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{1}}$ amb matriu d'escala

${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{11}}$.

${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{22|1}={\boldsymbol {\Sigma }}_{22}-{\boldsymbol {\Sigma }}_{21}{\boldsymbol {\Sigma }}_{11}^{-1}{\boldsymbol {\Sigma }}_{12}}$ és el complement de Schur de la matriu ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{11}}$ en ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$.

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{2|1}={\boldsymbol {\mu }}_{2}+{\boldsymbol {\Sigma }}_{21}{\boldsymbol {\Sigma }}_{11}^{-1}({\boldsymbol {X}}_{1}-{\boldsymbol {\mu }}_{1})}$ és la regressió lineal de ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}_{2}}$ sobre ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}_{1}}$.

Per a la demostració vegeu.^[5]

Convergència a la distribució normal multivariable

Quan ${\displaystyle \nu \to \infty }$, la distribució ${\displaystyle {\boldsymbol {t}}_{p}(\nu ,{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}$ s'aproxima a una distribució normal multivariable ${\displaystyle {\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}$. Concretament, si ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}_{\nu }\sim {\boldsymbol {t}}_{p}(\nu ,{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}$ (suposem ${\displaystyle \nu }$ un nombre natural), i ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}$ llavors $${\displaystyle \lim _{\nu \to \infty }{\boldsymbol {X}}_{\nu }={\boldsymbol {X}},\quad {\text{en distribució}}.}$$ Aquesta propietat es demostra utilitzant la tècnica de Cramer-Wold, juntament amb la propietat que hem vist sobre les combinacions lineals de les components d'un vector amb distribució ${\displaystyle t}$ multivariable i la convergència de la distribució ${\displaystyle t}$ de Student a la distribució normal.

Moments

Sigui ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}\sim {\boldsymbol {t}}_{p}(\nu ,{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}$. Les següents dues propietats es demostren a partir de la representació (3).

Esperança

Si ${\displaystyle \nu >1}$ , llavors el vector ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ té esperança i ${\displaystyle E[{\boldsymbol {X}}]={\boldsymbol {\mu }}.}$

Matriu de variàncies-covariàncies.

Si ${\displaystyle \nu >2}$, aleshores la matriu de variàncies-covariàncies del vector ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ és:$${\displaystyle {\boldsymbol {V}}({\boldsymbol {X}})={\frac {\nu }{\nu -2}}\,{\boldsymbol {\Sigma }}.}$$Moments d'ordre superior. ^[4]

Ens restringirem al cas que ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\boldsymbol {0}}}$ i ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}={\boldsymbol {I}}_{p}}$. Sigui ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}\sim {\boldsymbol {t}}_{p}(\nu ,{\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {I}}_{p})}$ i ${\displaystyle n_{1}\geq 0,\dots ,n_{p}\geq 0}$ nombres naturals tals que ${\displaystyle n_{1}+\cdots +n_{p}=n<\nu }$ . Aleshores $${\displaystyle E{\big [}{\big \vert }T_{1}^{n_{1}}\cdots T_{p}^{n_{p}}{\big |}{\big ]}<\infty }$$ i si ${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{p}}$ són parells, aleshores $${\displaystyle E{\big [}T_{1}^{n_{1}}\cdots T_{p}^{n_{p}}{\big ]}=\nu ^{n/2}{\frac {\Gamma {\big (}{\frac {\nu -n}{2}}{\big )}}{2^{n/2}\Gamma {\big (}{\frac {\nu }{2}}{\big )}}}\prod _{j=1}^{p}{\frac {n_{j}!}{2^{n_{j}/2}\,(n_{j}/2)!}}.}$$Si algun dels ${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{p}}$ és senar, aleshores l'esperança anterior és 0.

Aquesta propietat es demostra a partir de la representació (1), de la independència de ${\displaystyle Z_{1},\dots ,Z_{p}}$ i ${\displaystyle Q}$, i les fórmules per als moments d'una distribució ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$ i dels d'una distribució khi quadrat.

Funció característica

La funció característica no té una expressió senzilla. Vegeu ^[1] o.^[6][7]

Simulació

La definició constructiva d'una distribució t multivariant serveix simultàniament com a algorisme de mostreig:

1. Generar ${\displaystyle u\sim \chi _{\nu }^{2}}$ i ${\displaystyle \mathbf {y} \sim N(\mathbf {0} ,{\boldsymbol {\Sigma }})}$, independentment.
2. Calcular ${\displaystyle \mathbf {x} \gets {\sqrt {\nu /u}}\mathbf {y} +{\boldsymbol {\mu }}}$ .

Mixtura

Aquesta formulació dona lloc a la representació jeràrquica d'una distribució t multivariant com una mixtura d'escala de normals: Si${\displaystyle u\sim \mathrm {Ga} (\nu /2,\nu /2)}$ on ${\displaystyle \mathrm {Ga} (a,b)}$ indica una distribució gamma amb densitat proporcional a ${\displaystyle x^{a-1}e^{-bx}}$, i ${\displaystyle \mathbf {x} \mid u}$ condicionalment segueix ${\displaystyle N({\boldsymbol {\mu }},u^{-1}{\boldsymbol {\Sigma }})}$ .

Referències