Astroide

Astroide

En matemàtica, un astroide és un tipus particular d'hipocicloide, una corba amb quatre vèrtexs. Els astroides són també corbes de Lamé: tots els astroides són versions a escala de la corba especificada per l'equació:

x 2 / 3 + y 2 / 3 = 1. {\displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}=1.\,}

El seu nom modern ve de la paraula grega asteros, "estrella". La corba tenia diversos noms, incloent-hi tetracúspide, cubocicloide, i paracicle. És gairebé idèntica en la forma a l'evoluta d'una el·lipse.

Construcció de l'astroide

El camí que segueix un punt d'una circumferència de radi 1/4 rodolant dins d'una circumferència del radi 1 traça una astroide. Un segment de recta de la llargada 1 que llisqui amb un extrem a l'eix d'abscisses i l'altre a l'eix d'ordenades, és sempre tangent a l'astroide (que és per això un envolupant). Les seves equacions paramètriques són:

x = cos 3 ⁡ θ , y = sin 3 ⁡ θ . {\displaystyle x=\cos ^{3}\theta ,\qquad y=\sin ^{3}\theta .}

L'astroide és el lloc geomètric real d'una corba algebraica plana del gènere zero. Té l'equació:

( x 2 + y 2 − 1 ) 3 + 27 x 2 y 2 = 0. {\displaystyle (x^{2}+y^{2}-1)^{3}+27x^{2}y^{2}=0.\,}

L'astroide és per això del grau sis, i té quatre singularitats de cúspide en el pla real, els vèrtexs de l'estrella. Té dues singularitats complexes de cúspide més a l'infinit, i quatre punts dobles complexos, en total té deu singularitats.

La corba dual de l'astroide és la corba cruciforme amb l'equació x 2 y 2 = x 2 + y 2 . {\displaystyle \textstyle x^{2}y^{2}=x^{2}+y^{2}.}

L'evoluta d'una astroide és una astroide dues vegades més gran.

Una astroide creada en rodolar una circumferència dins d'una circumferència del radi a {\displaystyle a} tindrà una àrea de 3 8 π a 2 {\displaystyle {\frac {3}{8}}\pi a^{2}} i un perímetre de 6a.

Corbes relacionades

  • Deltoide: corba amb tres cúspides.

Referències

  • J. Dennis Lawrence. A catalog of special plane curves. Dover Publications, 1972, p. 4–5,34–35,173–174. ISBN 0-486-60288-5. 
  • Wells D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. Nova York: Penguin Books, 1991, p. 10–11. ISBN 0-14-011813-6. 

Enllaços externs

  • Weisstein, Eric W., «Astroid» a MathWorld (en anglès).
  • "Astroid" a The MacTutor History of Mathematics archive.
  • Article a 2dcurves.com
  • Visual Dictionary Of Special Plane Curves, Xah Lee.
  • Stoner-Wohlfarth astroid applet (physics) Arxivat 2006-09-22 a Wayback Machine..
  • Bars of an Astroid per Sándor Kabai.